Considere o conjunto S=\left\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3}, em que
x_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right], \quad x_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 3 \\\\ 1 \end{array}\right], \quad x_{3}=\left[\begin{array}{l} 4 \\\\ 3 \\\\ 0 \end{array}\right] .
Use o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para obter um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto S=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com
x_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad x_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad x_{3}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
O que se pede: usar o processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortonormal (isto é, vetores mutuamente ortogonais e com norma 1) que span(os) mesmos subespaços que os x_i.]

Passo 2

Vou explicar a ideia (rápida e prática) do processo de Gram–Schmidt e as fórmulas que vou usar, passo a passo.
  • Começa-se com v_1=x_1. Normaliza-se para obter u_1=\dfrac{v_1}{\|v_1\|}.
  • Depois define-se v_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_2), \qquad \operatorname{onde}\quad \operatorname{proj}_{u_1}(x_2)=(u_1^{T}x_2)\,u_1,e então normaliza-se u_2=\dfrac{v_2}{\|v_2\|}.
  • Finalmente v_3 = x_3 - (u_1^{T}x_3)u_1 - (u_2^{T}x_3)u_2,e u_3=\dfrac{v_3}{\|v_3\|}.
  • Aqui a forma interna é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3: para a,b\in\mathbb{R}^3, a^{T}b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,e a norma é \|a\|=\sqrt{a^{T}a}.
Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados, com contas detalhadas e simplificações exatas (frações).

Passo 3

Calcular u_1.
Primeiro
v_1=x_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
A norma ao quadrado é
\|v_1\|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9,
logo \|v_1\|=3. Portanto
u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Comentário didático rápido: é sempre bom verificar que \|u_1\|=1. Aqui \|u_1\|=\frac{1}{3}\sqrt{9}=1.]

Passo 4

Calcular v_2 e u_2.
Primeiro o produto interno u_1^{T}x_2:
u_1^{T}x_2 = \frac{1}{3}\big(1\cdot1 + 2\cdot3 + (-2)\cdot1\big) = \frac{1}{3}(1+6-2)=\frac{5}{3}.
A projeção de x_2 sobre u_1 é
\operatorname{proj}_{u_1}(x_2) = \frac{5}{3}\,u_1 = \frac{5}{3}\cdot\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \frac{5}{9}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Então
v_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_2) = \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix} - \frac{5}{9}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix} = \frac{1}{9}\begin{pmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{pmatrix}.
Agora a norma de v_2:
\|v_2\|^2 = \frac{1}{81}\big(4^2 + 17^2 + 19^2\big) = \frac{1}{81}\big(16 + 289 + 361\big) = \frac{666}{81} = \frac{74}{9}.
Portanto
\|v_2\| = \frac{\sqrt{74}}{3}.
Normalizando:
u_2 = \frac{v_2}{\|v_2\|} = \frac{\frac{1}{9}\begin{pmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{pmatrix}}{\frac{\sqrt{74}}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{74}}\begin{pmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{pmatrix}.
Comentário prático: deixei u_2 em forma factorizada \dfrac{1}{3\sqrt{74}}(\cdot) porque é mais legível na prova e evita arredondamentos.]

Passo 5

Calcular v_3 e u_3.
Primeiro a projeção sobre u_1:
u_1^{T}x_3 = \frac{1}{3}\big(1\cdot4 + 2\cdot3 + (-2)\cdot0\big) = \frac{10}{3},
\operatorname{proj}_{u_1}(x_3) = \frac{10}{3}\,u_1 = \frac{10}{9}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Agora o produto interno com u_2:
u_2^{T}x_3 = \frac{1}{3\sqrt{74}}\big(4\cdot4 + 17\cdot3 + 19\cdot0\big) = \frac{1}{3\sqrt{74}}(16+51)=\frac{67}{3\sqrt{74}}.
E a projeção correspondente:
\operatorname{proj}_{u_2}(x_3) = (u_2^{T}x_3)\,u_2 = \frac{67}{3\sqrt{74}}\cdot\frac{1}{3\sqrt{74}}\begin{pmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{pmatrix} = \frac{67}{666}\begin{pmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{pmatrix}.
Agora subtraio as duas projeções de x_3. Para facilitar as contas coloquei tudo em denominador comum e simplifiquei; o resultado é
v_3 = x_3 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_3) - \operatorname{proj}_{u_2}(x_3) = \frac{1}{74}\begin{pmatrix}184\\[4pt]-69\\[4pt]23\end{pmatrix}.
(Se quiser conferir rapidamente: multiplicando por 74 obtém-se o vetor inteiro (184,-69,23).)
Calcule a norma de v_3:
\|v_3\|^2 = \frac{1}{74^2}\big(184^2 + (-69)^2 + 23^2\big) = \frac{39146}{5476} = \frac{529}{74},
logo
\|v_3\| = \frac{23}{\sqrt{74}}.
Finalmente
u_3 = \frac{v_3}{\|v_3\|} = \frac{\frac{1}{74}\begin{pmatrix}184\\[4pt]-69\\[4pt]23\end{pmatrix}}{\frac{23}{\sqrt{74}}} = \frac{\sqrt{74}}{1702}\begin{pmatrix}184\\[4pt]-69\\[4pt]23\end{pmatrix}.
Podemos simplificar as componentes racionalmente. Simplificando cada entrada obtemos a forma
u_3 = \begin{pmatrix} \dfrac{4\sqrt{74}}{37}\\[6pt] -\dfrac{3\sqrt{74}}{74}\\[6pt] \dfrac{\sqrt{74}}{74} \end{pmatrix},
o que é equivalente à expressão anterior (é só redução de fatores em cada componente). É fácil verificar que \|u_3\|=1 e que u_3 é ortogonal a u_1 e a u_2 pelos cálculos de projeção feitos.]

Passo 6

Resumo final: os vetores u_1,u_2,u_3 obtidos por Gram–Schmidt formam um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^3 que gera o mesmo subespaço que x_1,x_2,x_3. Verificações rápidas: cada u_i tem norma 1 e os produtos escalares u_i^{T}u_j para i\neq j são zero (essas propriedades são garantidas pela construção e podem ser conferidas calculando os produtos escalares com as expressões acima).

Resposta

u_1=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad u_2=\frac{1}{3\sqrt{74}}\begin{pmatrix}4\\[4pt]17\\[4pt]19\end{pmatrix},\qquad u_3=\begin{pmatrix}\dfrac{4\sqrt{74}}{37}\\[6pt]-\dfrac{3\sqrt{74}}{74}\\[6pt]\dfrac{\sqrt{74}}{74}\end{pmatrix}

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