O que se pede: usar o processo de ortonormalização de Gram–Schmidt para obter um conjunto ortonormal (isto é, vetores mutuamente ortogonais e com norma 1) que span(os) mesmos subespaços que os x_i.]
Passo 2
Vou explicar a ideia (rápida e prática) do processo de Gram–Schmidt e as fórmulas que vou usar, passo a passo.
Começa-se com v_1=x_1. Normaliza-se para obter u_1=\dfrac{v_1}{\|v_1\|}.
Depois define-sev_2 = x_2 - \operatorname{proj}_{u_1}(x_2), \qquad \operatorname{onde}\quad \operatorname{proj}_{u_1}(x_2)=(u_1^{T}x_2)\,u_1,e então normaliza-se u_2=\dfrac{v_2}{\|v_2\|}.
Aqui a forma interna é o produto escalar usual em \mathbb{R}^3: para a,b\in\mathbb{R}^3,a^{T}b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3,e a norma é \|a\|=\sqrt{a^{T}a}.
Agora aplico essas fórmulas aos vetores dados, com contas detalhadas e simplificações exatas (frações).
o que é equivalente à expressão anterior (é só redução de fatores em cada componente). É fácil verificar que \|u_3\|=1 e que u_3 é ortogonal a u_1 e a u_2 pelos cálculos de projeção feitos.]
Passo 6
Resumo final: os vetores u_1,u_2,u_3 obtidos por Gram–Schmidt formam um conjunto ortonormal em \mathbb{R}^3 que gera o mesmo subespaço que x_1,x_2,x_3. Verificações rápidas: cada u_i tem norma 1 e os produtos escalares u_i^{T}u_j para i\neq j são zero (essas propriedades são garantidas pela construção e podem ser conferidas calculando os produtos escalares com as expressões acima).