Resolva o sistema utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y+z=1 \\\ x-y+2 z=3 \\\\ 3 x+y+z=4 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema linear com três equações e três incógnitas e pede a solução usando a Regra de Cramer. O sistema é:
\left\{\begin{array}{l} 2x+y+z=1,\\[4pt] x-y+2z=3,\\[4pt] 3x+y+z=4. \end{array}\right.
Informações dadas que vamos usar:
  • Os coeficientes das incógnitas formam a matriz dos coeficientes.
  • Os termos à direita formam o vetor colunas de constantes.
  • A tarefa é encontrar x, y e z usando a Regra de Cramer.]

Passo 2

Explicando a Regra de Cramer (de forma concreta e sem pular etapas):
  • Para um sistema linear de três equações e três incógnitas escrito como A\mathbf{v}=\mathbf{b}, onde A é a matriz 3\times3, \mathbf{v}=(x,y,z)^T e \mathbf{b} é o vetor de constantes, define-se:
D=\det(A), \qquad D_x=\det(A_x), \qquad D_y=\det(A_y), \qquad D_z=\det(A_z).
  • Aqui A_x é a matriz obtida de A substituindo a primeira coluna por \mathbf{b}; A_y substitui a segunda coluna por \mathbf{b}; A_z substitui a terceira coluna por \mathbf{b}.
  • Se D\neq0, o sistema tem solução única dada por
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\qquad z=\frac{D_z}{D}.
Vou calcular D,D_x,D_y,D_z explicitamente.

Passo 3

Como calcular o determinante de uma matriz 3\times3 (regra de Sarrus, explicada passo a passo).
Para
M=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz:
\det(M)= a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} - \bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Explicando: multiplica-se cada uma das três diagonais que descem para a direita e soma; depois multiplica-se cada uma das três diagonais que sobem para a direita e soma; por fim subtrai-se a segunda soma da primeira.]

Passo 4

Formar a matriz dos coeficientes A e calcular D=\det(A).
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Soma das diagonais descendentes:
2\cdot(-1)\cdot1 \;+\; 1\cdot2\cdot3 \;+\; 1\cdot1\cdot1 = -2 + 6 + 1 = 5.
  • Soma das diagonais ascendentes:
1\cdot(-1)\cdot3 \;+\; 2\cdot2\cdot1 \;+\; 1\cdot1\cdot1 = -3 + 4 + 1 = 2.
  • Portanto
D = 5 - 2 = 3.]

Passo 5

Interpretação do resultado de D.
D=3\neq0,
logo pelo teorema da Regra de Cramer o sistema tem solução única e podemos calcular cada incógnita por x=D_x/D, y=D_y/D, z=D_z/D.

Passo 6

Calcular D_x: substituir a primeira coluna de A pelo vetor de constantes (1,3,4)^T.
A_x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & 2\\[4pt] 4 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Soma das diagonais descendentes:
1\cdot(-1)\cdot1 \;+\; 1\cdot2\cdot4 \;+\; 1\cdot3\cdot1 = -1 + 8 + 3 = 10.
  • Soma das diagonais ascendentes:
1\cdot(-1)\cdot4 \;+\; 1\cdot2\cdot1 \;+\; 1\cdot3\cdot1 = -4 + 2 + 3 = 1.
  • Portanto
D_x = 10 - 1 = 9.]

Passo 7

Calcular D_y: substituir a segunda coluna de A pelo vetor de constantes.
A_y=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 2\\[4pt] 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Soma das diagonais descendentes:
2\cdot3\cdot1 \;+\; 1\cdot2\cdot3 \;+\; 1\cdot1\cdot4 = 6 + 6 + 4 = 16.
  • Soma das diagonais ascendentes:
1\cdot3\cdot3 \;+\; 2\cdot2\cdot4 \;+\; 1\cdot1\cdot1 = 9 + 16 + 1 = 26.
  • Portanto
D_y = 16 - 26 = -10.]

Passo 8

Calcular D_z: substituir a terceira coluna de A pelo vetor de constantes.
A_z=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 3\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}.
Aplicando Sarrus:
  • Soma das diagonais descendentes:
2\cdot(-1)\cdot4 \;+\; 1\cdot3\cdot3 \;+\; 1\cdot1\cdot1 = -8 + 9 + 1 = 2.
  • Soma das diagonais ascendentes:
1\cdot(-1)\cdot3 \;+\; 2\cdot3\cdot1 \;+\; 1\cdot1\cdot4 = -3 + 6 + 4 = 7.
  • Portanto
D_z = 2 - 7 = -5.]

Passo 9

Calcular as incógnitas usando x=\dfrac{D_x}{D}, y=\dfrac{D_y}{D}, z=\dfrac{D_z}{D} e simplificar:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{9}{3}=3,
y=\frac{D_y}{D}=\frac{-10}{3}=-\frac{10}{3},
z=\frac{D_z}{D}=\frac{-5}{3}=-\frac{5}{3}.
Opcional (verificação rápida): substituir em cada equação original confirma que os três valores satisfazem todas as equações.

Resposta

x=3
y=-\dfrac{10}{3}
z=-\dfrac{5}{3}

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