Tolerância solicitada: 0,001 (interpreto como critério de parada quando a maior diferença absoluta entre iterações sucessivas for menor ou igual a 0,001).
Não foi dado palpite inicial; vou escolher o palpite inicial padrão (0,0,0,0) e explicarei a escolha.]
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (aulas rápidas e passo a passo):
Gauss–Seidel é um método iterativo para resolver A x = b. A ideia é isolar cada componente x_i na sua equação e calcular valores novos sequencialmente usando sempre os valores já atualizados da iteração corrente (ou os antigos quando ainda não atualizados).
Aqui x_j^{(k+1)} significa já usamos o valor mais recente para índices j<i dentro da mesma iteração, e x_j^{(k)} é o valor da iteração anterior para j>i.
Critério de parada que adotarei: parar quando \max_i |x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|\le 0,001.
Agora isolo cada variável nas equações do sistema (aqui cada isolamento é direto, porque os coeficientes diagonais são os a_{ii}):
Isolando x_1 (primeira equação tem coeficiente 1 em x_1):
x_1 = 8,76 - 2,3\,x_2 - 0,4\,x_3 - 3,4\,x_4.
Isolando x_2 (segunda equação, coeficiente 12 em x_2):
Essas quatro fórmulas são as operações que usarei em Gauss–Seidel, atualizando x_1,x_2,x_3,x_4 nessa ordem a cada iteração.
Passo 3
Escolhas práticas e critério de parada (explicando por que e como):
Escolhi o palpite inicial (x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)},x_4^{(0)})=(0,0,0,0). É comum e simples para cálculos à mão; se houver convergência o ponto inicial não é crítico.
Critério de parada: parar quando \max_i |x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|\le 0,001. Isto significa a maior variação absoluta entre duas iterações sucessivas ser menor ou igual a 0,001, que é uma condição prática para dizer que as componentes estabilizaram dentro da precisão requerida.
Antes de iterar convém checar um critério teórico de convergência: se a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou simétrica definida positiva), Gauss–Seidel converge sempre. Vou verificar a dominância diagonal para ver se temos garantia de convergência.
Passo 4
Teste de dominância diagonal (verificação de convergência suficiente; faço as contas):
Para cada linha vejo se |a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Conclusão: a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante pelas linhas (apenas a linha 3 é estritamente dominante). Como consequência, a convergência do método de Gauss–Seidel NÃO é garantida pelo critério de dominância. Antes de desistir, verifico se reordenando as equações seria possível tornar o sistema estritamente diagonalmente dominante: isto exige que exista alguma linha que tenha coeficiente dominante na coluna da variável correspondente ao posto escolhido. Em particular, para a coluna referente a x_2 (segunda variável) verifico se existe alguma linha cuja entrada na coluna 2 seja maior que a soma dos outros valores dessa linha:
Verificando cada linha para a coluna 2:
linha 1: |a_{1,2}|=2,3 vs soma restantes da linha 1 é 1+0,4+3,4=4,8 → não domina;
linha 2: |a_{2,2}|=12 vs soma restantes 3,1+4,5+5=12,6 → não domina;
linha 3: |a_{3,2}|=7 vs soma restantes 2,3+78+1,4=81,7 → não domina;
linha 4: |a_{4,2}|=0,1 vs soma restantes 23+1,5+3=27,5 → não domina.
Portanto NÃO existe nenhuma permutação de linhas que torne estritamente dominante a coluna x_2. Isso implica que NÃO é possível obter matrizes estritamente diagonalmente dominantes por linhas apenas permutando as equações — pelo menos a garantia automática de convergência não pode ser obtida dessa maneira. Assim, podemos antecipar que o método pode divergir ou oscilar para alguns palpites iniciais.
Passo 5
Execução prática de Gauss–Seidel (vou mostrar iterações e as contas detalhadas para ficar claro o porquê do comportamento):
Iteração inicial (k=0): x^{(0)}=(0,0,0,0).
Cálculo da iteração 1 (uso as fórmulas do Passo 2, substituindo com os valores mais recentes conforme Gauss–Seidel):
A variação entre iteração 1 e 2 é enorme; por exemplo |x_4^{(2)}-x_4^{(1)}|\approx | -1203,347164 - 48,363240| \approx 1251,7104, muito maior que 0,001.
Os valores estão crescendo em magnitude e alternando sinais, o que é indicativo de divergência do processo iterativo, ao invés de convergência.
Podemos calcular uma iteração 3 e veremos números ainda maiores (não é necessário prosseguir várias iterações pois o crescimento já demonstra que a sequência iterativa não se aproxima de um ponto fixo dentro da tolerância pedida).
Passo 6
Interpretação final e conselho prático (tom encorajador):
Como mostrei, a matriz NÃO é estritamente diagonalmente dominante por linhas e nem é possível permutar as linhas de modo a garantir dominância em todas (em particular não existe linha que domine na coluna de x_2). Em execução numérica com palpite inicial (0,0,0,0) o método de Gauss–Seidel produz iterados que crescem em magnitude (divergem), portanto NÃO é possível atingir a tolerância \,0,001 com Gauss–Seidel na ordem das equações dada e com palpite inicial padrão.
O comportamento observado (os valores explodirem após poucas iterações) confirma que o método não converge aqui. Isso não significa que o sistema não tenha solução: o sistema tem solução único (é um sistema não-singular na prática), mas Gauss–Seidel, na ordem dada e sem modificações, não é adequado para obter essa solução com precisão requerida.
Para resolver na prova (ou na prática) sugiro:
usar um método direto (eliminação de Gauss / fatoração LU) para obter a solução exata numérica com poucas operações;
ou usar técnicas que melhorem a convergência do iterativo: reordenar variáveis e equações (quando possível), aplicar SOR (relaxação sobre-relaxada) com fator \omega bem escolhido, ou utilizar métodos iterativos mais robustos como GMRES/CG (estes últimos exigem estruturas especiais).
Se quiser, eu posso agora:
(A) resolver o sistema por eliminação de Gauss passo a passo (método direto) e obter a solução numérica com precisão;
ou (B) tentar aplicar uma reordenação ou SOR e demonstrar tentativa de convergência iterativa.
Diga qual opção prefere que eu execute — eu te explico passo a passo como na prova e dou a solução numérica.
Resposta
O método de Gauss–Seidel, na ordem das equações dada e com palpite inicial (0,0,0,0), não converge (os iterados divergem) e portanto não é possível obter a solução com tolerância 0,001 usando Gauss–Seidel sem modificar a ordem ou usar técnicas de aceleração.