Resolva o sistema A X=B abaixo, pelo método L U, usando 4 casas decimais.
\left\{\begin{array}{c} 5 x+y+z=5 \\\\ 3 x+4 y+z=6 \\\\ 3 x+3 y+6 z=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear A X = B\) pelo método \(L U\), usando 4 casas decimais. As equações dadas são: \[\begin{cases} 5x + y + z = 5,\\[4pt] 3x + 4y + z = 6,\\[4pt] 3x + 3y + 6z = 0. \end{cases}
Vou trabalhar com a matriz dos coeficientes A\] e o vetor termo independente \(B, que são:
A = \begin{pmatrix}5 & 1 & 1\\[4pt]3 & 4 & 1\\[4pt]3 & 3 & 6\end{pmatrix},\qquad B = \begin{pmatrix}5\\[4pt]6\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Explicando o método L U (de forma didática):
  • A ideia é fatorar A como produto de uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U:
A = L U.
  • Vou usar a fatoração no formato de Doolittle, em que L tem diagonal principal com 1’s:
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1 & 0\\[4pt] \ell_{31} & \ell_{32} & 1 \end{pmatrix},\qquad U = \begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13}\\[4pt] 0 & u_{22} & u_{23}\\[4pt] 0 & 0 & u_{33} \end{pmatrix}.
  • As fórmulas para calcular as entradas (passo a passo) são:
    • u_{1j} = a_{1j} para j=1,2,3.
    • \ell_{i1} = a_{i1}/u_{11} para i=2,3.
    • Para a segunda linha/coluna: u_{22} = a_{22} - \ell_{21} u_{12},\qquad u_{23} = a_{23} - \ell_{21} u_{13},
\ell_{32} = \dfrac{a_{32} - \ell_{31} u_{12}}{u_{22}}.
  • Finalmente: u_{33} = a_{33} - \ell_{31} u_{13} - \ell_{32} u_{23}.
  • Depois de obter L e U resolvemos em duas etapas:
    1. Resolver L y = B por substituição progressiva (forward substitution) para obter y.
    2. Resolver U x = y por substituição regressiva (back substitution) para obter x.
  • Em cada passo vou arredondar os valores para 4 casas decimais quando apropriado, mas explicarei também se algum resultado é exato.]

Passo 3

Identifico os elementos de A e início a fatoração:
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 1\\[4pt] 3 & 4 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 6 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo da primeira linha de U e primeira coluna de L:
u_{11} = a_{11} = 5.
u_{12} = a_{12} = 1,\qquad u_{13} = a_{13} = 1.
\ell_{21} = \dfrac{a_{21}}{u_{11}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.
\ell_{31} = \dfrac{a_{31}}{u_{11}} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6.

Passo 5

Calculo dos elementos da segunda linha/coluna:
u_{22} = a_{22} - \ell_{21} u_{12} = 4 - 0{,}6\cdot 1 = 4 - 0{,}6 = 3{,}4.
u_{23} = a_{23} - \ell_{21} u_{13} = 1 - 0{,}6\cdot 1 = 1 - 0{,}6 = 0{,}4.

Passo 6

Calculo de \ell_{32}:
\ell_{32} = \dfrac{a_{32} - \ell_{31} u_{12}}{u_{22}} = \dfrac{3 - 0{,}6\cdot 1}{3{,}4} = \dfrac{2{,}4}{3{,}4}.
Avaliando numericamente:
\ell_{32} \approx 0{,}7058823529\ldots
Arredondando para 4 casas decimais:
\ell_{32} \approx 0{,}7059.

Passo 7

Calculo de u_{33}:
u_{33} = a_{33} - \ell_{31} u_{13} - \ell_{32} u_{23} = 6 - 0{,}6\cdot 1 - \left(\dfrac{2{,}4}{3{,}4}\right)\cdot 0{,}4.
Usando a forma exata \ell_{32} = \dfrac{2{,}4}{3{,}4} = \dfrac{12}{17} (observação útil para cálculo exato), temos:
u_{33} = 6 - 0{,}6 - \dfrac{12}{17}\cdot 0{,}4 = 5{,}4 - 0{,}4\cdot \dfrac{12}{17} = 5{,}4 - \dfrac{24}{85} = 5{,}1176470588\ldots
Arredondando para 4 casas decimais:
u_{33} \approx 5{,}1176.

Passo 8

Matriz L e U finais (valores mostrados com 4 casas decimais):
L \approx \begin{pmatrix} 1{,}0000 & 0{,}0000 & 0{,}0000\\[4pt] 0{,}6000 & 1{,}0000 & 0{,}0000\\[4pt] 0{,}6000 & 0{,}7059 & 1{,}0000 \end{pmatrix}, \qquad U \approx \begin{pmatrix} 5{,}0000 & 1{,}0000 & 1{,}0000\\[4pt] 0{,}0000 & 3{,}4000 & 0{,}4000\\[4pt] 0{,}0000 & 0{,}0000 & 5{,}1176 \end{pmatrix}.
(Observação: alguns valores têm representação exata simples, mas aqui foram apresentados arredondados para 4 casas conforme pedido.)]

Passo 9

Resolver L y = B\) por substituição progressiva. Escrevendo as equações: \[\begin{cases} y_1 = 5,\\[4pt] 0{,}6000\,y_1 + y_2 = 6,\\[4pt] 0{,}6000\,y_1 + 0{,}7058823529\,y_2 + y_3 = 0. \end{cases}
Calculos:
y_1 = 5.
y_2 = 6 - 0{,}6\cdot 5 = 6 - 3 = 3.
y_3 = 0 - 0{,}6\cdot 5 - \left(\dfrac{12}{17}\right)\cdot 3 = -3 - \dfrac{36}{17} = -3 - 2{,}1176470588\ldots = -5{,}1176470588\ldots
Arredondando (y_3] para 4 casas decimais:
y_3 \approx -5{,}1176.]

Passo 10

Resolver U x = y\) por substituição regressiva. Escrevendo as equações: \[\begin{cases} 5{,}0000\,x_1 + 1{,}0000\,x_2 + 1{,}0000\,x_3 = 5,\\[4pt] 3{,}4000\,x_2 + 0{,}4000\,x_3 = 3,\\[4pt] 5{,}1176\,x_3 = -5{,}1176470588\ldots \end{cases}
Passo a passo:
  • Da terceira equação:
x_3 = \dfrac{-5{,}1176470588\ldots}{5{,}1176470588\ldots} = -1.
Arredondando: (x_3 = -1{,}0000].
  • Da segunda equação:
3{,}4\,x_2 + 0{,}4\,(-1) = 3 \quad\Rightarrow\quad 3{,}4\,x_2 - 0{,}4 = 3 \quad\Rightarrow\quad 3{,}4\,x_2 = 3{,}4 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1.
Arredondando: x_2 = 1{,}0000.
  • Da primeira equação:
5\,x_1 + 1\cdot 1 + 1\cdot(-1) = 5 \quad\Rightarrow\quad 5\,x_1 + 0 = 5 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Arredondando: x_1 = 1{,}0000.]

Passo 11

Verificação rápida (opcional mas útil): calcular A x com x = (1,1,-1)^T:
A x = \begin{pmatrix} 5\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot(-1)\\[4pt] 3\cdot 1 + 4\cdot 1 + 1\cdot(-1)\\[4pt] 3\cdot 1 + 3\cdot 1 + 6\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\[4pt] 6\\[4pt] 0 \end{pmatrix} = B.
Confirmação: solução correta.]

Resposta

x_1 = 1{,}0000
x_2 = 1{,}0000
x_3 = -1{,}0000

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