Resolva o sistema linear abaixo pelo método de Gauss-Jacobi e depois pelo método de Gauss-Seidel, com e chute inicial :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Esse tipo de problema aparece bastante em álgebra linear e nos ajuda a encontrar as soluções dessas equações de forma iterativa. Para isso, vamos precisar das fórmulas de cada método e começar com um chute inicial, que aqui é (0, 0, 0)^T, e definir uma tolerância de erro para parar as iterações quando estivermos perto o suficiente da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema para aplicar o método de Gauss-Jacobi. O método de Gauss-Jacobi resolve cada equação para uma das variáveis, assumindo que as outras variáveis já têm valores conhecidos. Nosso sistema é:
Vamos rearranjar cada equação para isolar uma variável:
Para x:
Para y:
Para z:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jacobi com o chute inicial . A ideia é iterar usando as fórmulas acima até que a diferença entre as iterações seja menor que epsilon.
Iteração 1:
Diferenças:
Como todas as diferenças são maiores que 0,0005, precisamos continuar.
Passo 4
Iteração 2:
Diferenças:
Ainda acima da tolerância, vamos pra próxima iteração.
Passo 5
Iteração 3:
Diferenças:
Ainda precisamos continuar.
Passo 6
Vamos continuar iterando até que todas as diferenças sejam menores que 0,0005.
Após algumas iterações, chegamos a:
Iteração n:
As diferenças agora estão menores que 0,0005 para todas as variáveis.