Resolva o sistema dd t u(t)=A u(t) onde A=[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1] sujeito à condição inicial u(t=0)=(0,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais lineares de ordem 1
ddtu(t)=A,u(t),
com
A=1&0&10&1&01&0&1
e condição inicial u(0)=(0,1,-1).
O conteúdo principal é diagonalizar A (achar valores e vetores próprios) e usar a forma geral
u(t)=sumi ci e^lambdai tvi.

Passo 2

Encontramos os autovalores de A resolvendo det(A-lambda I)=0.
Calcula-se
det!l(A-lambda Ir) =det1-lambda&0&10&1-lambda&01&0&1-lambda =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-0r]-1cdot(1-lambda) =(1-lambda)l[(1-lambda)^2-1r]
Logo
det(A-lambda I)=(1-lambda),lambda,(lambda-2),
portanto os autovalores são lambda1=2, lambda2=0 e lambda3=1.

Passo 3

Para cada
logo [\mathbf{v}_1=(1,0,1)).
. :

.
. :

.

Passo 4

A solução geral é combinação linear dos autovetores:
u(t) = c1 e^2tv1 + c2 e^0cdot tv2 + c3 e^1cdot tv3 = c1 e^2t101 + c210-1 + c3 e^t010

Passo 5

Impondo u(0)=(0,1,-1) temos
c1101 + c210-1 + c3010 =01-1
Das componentes obtém-se
,c1+c2=0,;c3=1,;c1-c2=-1.
Daí c1=-tfrac12, c2=+tfrac12, c3=1.

Passo 6

Substituindo os ci em u(t) e separando componentes:
u1(t)=-tfrac12e^2t+tfrac12, u2(t)=e^t, u3(t)=-tfrac12e^2t-tfrac12

Resposta

u(t) = -tfrac12e^2t+tfrac12[6pt] e^t[6pt] -tfrac12e^2t-tfrac12 ]

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