O enunciado dá o sistema linear [;S_{4}\Rightarrow A\cdot x=b;) e pede que o resolvamos usando eliminação de Gauss com pivoteamento completo, com arredondamento em duas casas decimais. As quatro equações são:
A é a matriz dos coeficientes (4×4) e b\] é o vetor dos termos independentes (4×1).
- Deve-se usar eliminação de Gauss com pivoteamento completo (ou seja, escolher o maior elemento em módulo na submatriz restante, trocar linhas e colunas quando necessário).
- Resultado final pedido: vetor \(x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} com arredondamento em duas casas decimais.]
Passo 2
O que é pivoteamento completo e como vamos proceder (aula rápida e prática):
Em cada etapa k escolhemos o elemento de maior valor absoluto na submatriz formada pelas linhas k\ldots n e colunas k\ldots n. Esse elemento será o pivô.
Se o pivô não estiver na posição (k,k), trocamos linhas para trazer o pivô para a linha k e trocamos colunas para trazê-lo para a coluna k. Trocar colunas muda a ordem das incógnitas: devemos guardar essa permutação para reordenar as incógnitas no final.
Depois de posicionar o pivô, eliminamos abaixo dele (como na eliminação de Gauss usual): para cada linha i>k usamos o multiplicador m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} e fazemos \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.
Aqui: para apresentação, os números serão mostrados arredondados a duas casas decimais; internamente (ao calcular multiplicadores e combinar linhas) usamos a precisão necessária para manter coerência e só depois arredondamos as entradas exibidas.
Vou anotar também a permutação das colunas. Inicialmente a ordem das incógnitas é \big(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\big).
Passo 3
Procuramos o maior elemento em módulo na matriz A. O maior valor absoluto é |-84{,}0|=84{,}0, que está em a_{3,2} (linha 3, coluna 2).
Para colocar esse pivô em (1,1) fazemos:
trocar linha 1 com a linha 3;
trocar coluna 1 com a coluna 2.
Após essas trocas (e lembrando que a troca de colunas troca também a ordem das incógnitas), a nova ordem das colunas passa a ser \big(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\big) — guardamos isso como permutação parcial. A matriz aumentada [A\mid b] fica (apresento arredondada a duas casas decimais):
Observação didática: as entradas da primeira coluna abaixo do pivô ficaram iguais a zero (exatamente), porque usamos os multiplicadores exatos (mostrados internamente) e só arredondamos para mostrar.]
Passo 4
Fórmula do multiplicador para linha i: \;m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}\;. Aplicando para i=2,3,4 obtém-se multiplicadores que zeram exatamente as entradas da coluna 1. Já mostrei o resultado arredondado na matriz do passo anterior (coluna 1 com zeros abaixo do pivô). Então, após essa eliminação, passamos para a submatriz das linhas e colunas 2\ldots4.
Passo 5
Agora olhamos a submatriz formada por linhas 2 a 4 e colunas 2 a 4 (na ordem atual de colunas). O maior elemento em módulo nessa submatriz é aproximadamente |-46{,}29238| que está na posição atual (2,4). Para trazer esse pivô para a posição (2,2) trocamos as colunas 2 e 4 (não é necessário trocar linhas neste caso).
Atualizamos a permutação das colunas: até agora tínhamos [x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}]; trocando as colunas 2 e 4 obtemos a nova ordem [x_{2},x_{4},x_{3},x_{1}].
A matriz aumentada após essa permuta (valores mostrados arredondados a duas casas decimais) é:
Didática: a fórmula de eliminação por linhas é a mesma sempre: \text{linha}_i\leftarrow\text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k. Aqui usamos multiplicadores calculados com precisão e mostro a matriz arredondada.]
Passo 7
Na submatriz 3×3 restante (linhas 3-4, colunas 3-4 no ordenamento atual), o maior elemento em módulo é aproximadamente |-25{,}112736| que aparece na posição atual (4,4). Para colocar esse pivô em (3,3) trocamos a linha 3 com a linha 4 e a coluna 3 com a coluna 4.
Atualizando a permutação de colunas (a anterior era [x_{2},x_{4},x_{3},x_{1}] ) e trocando as colunas 3 e 4, a nova ordem final das colunas fica [x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}]. Ou seja, nas posições atuais:
(Aqui os zeros abaixo da diagonal são resultados da eliminação exata; os números são mostrados arredondados a duas casas decimais.)]
Passo 8
Agora temos uma matriz triangular superior U (na ordem de colunas permutada). Chamemos de y o vetor de incógnitas na ordem atual das colunas; isto é, y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})^{T} corresponde às incógnitas (x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}), respectivamente.
Fazemos substituição regressiva para U y = c (o vetor c é o b transformado). As equações, em termos numéricos arredondados, são:
Substituindo y_{2}\approx 1{,}00,\; y_{3}\approx 1{,}00,\; y_{4}\approx -1{,}00 e resolvendo:
y_{1}\approx 2{,}00.
Explicação didática: na substituição regressiva resolvemos a última equação para a última incógnita, substituímos para cima, e assim por diante. Usei aqui os coeficientes arredondados para mostrar os cálculos; os valores calculados com precisão dão as soluções listadas a seguir.
Passo 9
Lembre-se da permutação de colunas final: a ordem atual (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) corresponde às incógnitas originais (x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}). Então: