Resolva S_{4} com arredondamento em duas casas decimais, utilizando eliminação de Gauss com pivoteamento completo.
S_{4} \Rightarrow A \cdot x=b \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}8,7 x_{1}+3,0 x_{2}+9,3 x_{3}+11,0 x_{4}=16,4 \\\\ 24,5 x_{1}-8,8 x_{2}+11,5 x_{3}-45,1 x_{4}=-49,7 \\\\ 52,3 x_{1}-84,0 x_{2}-23,5 x_{3}+11,4 x_{4}=-80,8 \\\\ 21,0 x_{1}-81,0 x_{2}-13,2 x_{3}+21,5 x_{4}=-106,3\end{array} .\right..

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear [;S_{4}\Rightarrow A\cdot x=b;) e pede que o resolvamos usando eliminação de Gauss com pivoteamento completo, com arredondamento em duas casas decimais. As quatro equações são:
\begin{cases} 8{,}7\,x_{1}+3{,}0\,x_{2}+9{,}3\,x_{3}+11{,}0\,x_{4}=16{,}4\\[6pt] 24{,}5\,x_{1}-8{,}8\,x_{2}+11{,}5\,x_{3}-45{,}1\,x_{4}=-49{,}7\\[6pt] 52{,}3\,x_{1}-84{,}0\,x_{2}-23{,}5\,x_{3}+11{,}4\,x_{4}=-80{,}8\\[6pt] 21{,}0\,x_{1}-81{,}0\,x_{2}-13{,}2\,x_{3}+21{,}5\,x_{4}=-106{,}3 \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A é a matriz dos coeficientes (4×4) e b\] é o vetor dos termos independentes (4×1). - Deve-se usar eliminação de Gauss com pivoteamento completo (ou seja, escolher o maior elemento em módulo na submatriz restante, trocar linhas e colunas quando necessário). - Resultado final pedido: vetor \(x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T} com arredondamento em duas casas decimais.]

Passo 2

O que é pivoteamento completo e como vamos proceder (aula rápida e prática):
  • Em cada etapa k escolhemos o elemento de maior valor absoluto na submatriz formada pelas linhas k\ldots n e colunas k\ldots n. Esse elemento será o pivô.
  • Se o pivô não estiver na posição (k,k), trocamos linhas para trazer o pivô para a linha k e trocamos colunas para trazê-lo para a coluna k. Trocar colunas muda a ordem das incógnitas: devemos guardar essa permutação para reordenar as incógnitas no final.
  • Depois de posicionar o pivô, eliminamos abaixo dele (como na eliminação de Gauss usual): para cada linha i>k usamos o multiplicador m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} e fazemos \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.
  • Aqui: para apresentação, os números serão mostrados arredondados a duas casas decimais; internamente (ao calcular multiplicadores e combinar linhas) usamos a precisão necessária para manter coerência e só depois arredondamos as entradas exibidas.
Vou anotar também a permutação das colunas. Inicialmente a ordem das incógnitas é \big(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\big).

Passo 3

Procuramos o maior elemento em módulo na matriz A. O maior valor absoluto é |-84{,}0|=84{,}0, que está em a_{3,2} (linha 3, coluna 2).
Para colocar esse pivô em (1,1) fazemos:
  • trocar linha 1 com a linha 3;
  • trocar coluna 1 com a coluna 2.
Após essas trocas (e lembrando que a troca de colunas troca também a ordem das incógnitas), a nova ordem das colunas passa a ser \big(x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}\big) — guardamos isso como permutação parcial. A matriz aumentada [A\mid b] fica (apresento arredondada a duas casas decimais):
\left[\begin{array}{rrrr|r} -84{,}00 & 52{,}30 & -23{,}50 & 11{,}40 & -80{,}80\\[4pt] 0{,}00 & 19{,}02 & 13{,}96 & -46{,}29 & -41{,}24\\[4pt] 0{,}00 & 10{,}57 & 8{,}46 & 11{,}41 & 13{,}51\\[4pt] 0{,}00 & -29{,}43 & 9{,}45 & 10{,}51 & -28{,}51 \end{array}\right]
Observação didática: as entradas da primeira coluna abaixo do pivô ficaram iguais a zero (exatamente), porque usamos os multiplicadores exatos (mostrados internamente) e só arredondamos para mostrar.]

Passo 4

Fórmula do multiplicador para linha i: \;m_{i1}=\dfrac{a_{i1}}{a_{11}}\;. Aplicando para i=2,3,4 obtém-se multiplicadores que zeram exatamente as entradas da coluna 1. Já mostrei o resultado arredondado na matriz do passo anterior (coluna 1 com zeros abaixo do pivô). Então, após essa eliminação, passamos para a submatriz das linhas e colunas 2\ldots4.

Passo 5

Agora olhamos a submatriz formada por linhas 2 a 4 e colunas 2 a 4 (na ordem atual de colunas). O maior elemento em módulo nessa submatriz é aproximadamente |-46{,}29238| que está na posição atual (2,4). Para trazer esse pivô para a posição (2,2) trocamos as colunas 2 e 4 (não é necessário trocar linhas neste caso).
Atualizamos a permutação das colunas: até agora tínhamos [x_{2},x_{1},x_{3},x_{4}]; trocando as colunas 2 e 4 obtemos a nova ordem [x_{2},x_{4},x_{3},x_{1}].
A matriz aumentada após essa permuta (valores mostrados arredondados a duas casas decimais) é:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -84{,}00 & 11{,}40 & -23{,}50 & 52{,}30 & -80{,}80\\[4pt] 0{,}00 & -46{,}29 & 13{,}96 & 19{,}02 & -41{,}24\\[4pt] 0{,}00 & 11{,}41 & 8{,}46 & 10{,}57 & 13{,}51\\[4pt] 0{,}00 & 10{,}51 & 9{,}45 & -29{,}43 & -28{,}51 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora calculamos os multiplicadores para zerar as entradas nas linhas 3 e 4 da coluna 2:
m_{32}=\dfrac{a_{32}}{a_{22}},\qquad m_{42}=\dfrac{a_{42}}{a_{22}}.
Aplicando-os e atualizando as linhas, obtemos (valores arredondados a duas casas decimais):
\left[\begin{array}{rrrr|r} -84{,}00 & 11{,}40 & -23{,}50 & 52{,}30 & -80{,}80\\[4pt] 0{,}00 & -46{,}29 & 19{,}02 & 13{,}96 & -41{,}24\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 11{,}90 & 15{,}25 & 3{,}35\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 12{,}61 & -25{,}11 & -37{,}86 \end{array}\right]
Didática: a fórmula de eliminação por linhas é a mesma sempre: \text{linha}_i\leftarrow\text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k. Aqui usamos multiplicadores calculados com precisão e mostro a matriz arredondada.]

Passo 7

Na submatriz 3×3 restante (linhas 3- 4, colunas 3- 4 no ordenamento atual), o maior elemento em módulo é aproximadamente |-25{,}112736| que aparece na posição atual (4,4). Para colocar esse pivô em (3,3) trocamos a linha 3 com a linha 4 e a coluna 3 com a coluna 4.
Atualizando a permutação de colunas (a anterior era [x_{2},x_{4},x_{3},x_{1}] ) e trocando as colunas 3 e 4, a nova ordem final das colunas fica [x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}]. Ou seja, nas posições atuais:
  • coluna 1 → incógnita original x_{2},
  • coluna 2 → incógnita original x_{4},
  • coluna 3 → incógnita original x_{1},
  • coluna 4 → incógnita original x_{3}.
A matriz triangular obtida (arredondada) é:
\left[\begin{array}{rrrr|r} -84{,}00 & 11{,}40 & 52{,}30 & -23{,}50 & -80{,}80\\[4pt] 0{,}00 & -46{,}29 & 19{,}02 & 13{,}96 & -41{,}24\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & -25{,}11 & 12{,}61 & -37{,}86\\[4pt] 0{,}00 & 0{,}00 & 0{,}00 & 19{,}56 & -19{,}65 \end{array}\right]
(Aqui os zeros abaixo da diagonal são resultados da eliminação exata; os números são mostrados arredondados a duas casas decimais.)]

Passo 8

Agora temos uma matriz triangular superior U (na ordem de colunas permutada). Chamemos de y o vetor de incógnitas na ordem atual das colunas; isto é, y=(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})^{T} corresponde às incógnitas (x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}), respectivamente.
Fazemos substituição regressiva para U y = c (o vetor c é o b transformado). As equações, em termos numéricos arredondados, são:
  • Última equação (linha 4):
19{,}56\,y_{4} = -19{,}65 \quad\Rightarrow\quad y_{4}=\dfrac{-19{,}65}{19{,}56}\approx -1{,}00.
  • Linha 3:
-25{,}11\,y_{3} + 12{,}61\,y_{4} = -37{,}86
Substituindo y_{4}\approx -1{,}00 e resolvendo:
y_{3}\approx 1{,}00.
  • Linha 2:
-46{,}29\,y_{2} + 19{,}02\,y_{3} + 13{,}96\,y_{4} = -41{,}24
Substituindo y_{3}\approx 1{,}00 e y_{4}\approx -1{,}00 e resolvendo:
y_{2}\approx 1{,}00.
  • Linha 1:
-84{,}00\,y_{1} + 11{,}40\,y_{2} + 52{,}30\,y_{3} -23{,}50\,y_{4} = -80{,}80
Substituindo y_{2}\approx 1{,}00,\; y_{3}\approx 1{,}00,\; y_{4}\approx -1{,}00 e resolvendo:
y_{1}\approx 2{,}00.
Explicação didática: na substituição regressiva resolvemos a última equação para a última incógnita, substituímos para cima, e assim por diante. Usei aqui os coeficientes arredondados para mostrar os cálculos; os valores calculados com precisão dão as soluções listadas a seguir.

Passo 9

Lembre-se da permutação de colunas final: a ordem atual (y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}) corresponde às incógnitas originais (x_{2},x_{4},x_{1},x_{3}). Então:
\begin{array}{l} y_{1}=x_{2}\approx 2{,}00,\\[2pt] y_{2}=x_{4}\approx 1{,}00,\\[2pt] y_{3}=x_{1}\approx 1{,}00,\\[2pt] y_{4}=x_{3}\approx -1{,}00. \end{array}
Portanto, reordenando para (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}), obtemos a solução final.]

Resposta

x_{1}=1{,}00
x_{2}=2{,}00
x_{3}=-1{,}00
x_{4}=1{,}00

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