Escreva em forma matricial o sístema dado.
\frac{d x}{d t}=3 x-5 y

Passo 1

O enunciado pede que se escreva em forma matricial o sistema dado. As informações fornecidas são:
  • A única equação fornecida é \displaystyle \frac{d x}{d t}=3x-5y.
  • Não foi dada nenhuma equação para \displaystyle \frac{d y}{d t}.
    A pergunta explícita é: colocar esta (estas) equação(ões) na forma matricial.

Passo 2

Definir o vetor incógnita e a forma matricial padrão. Vamos introduzir o vetor coluna dos estados
\mathbf{X}(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[4pt]y(t)\end{pmatrix}.
A forma matricial linear mais comum para um sistema de primeiras ordens é
\frac{d\mathbf{X}}{dt}=A\,\mathbf{X},
onde A é uma matriz de coeficientes que multiplica o vetor \mathbf{X}. O objetivo é escolher A de modo que a primeira linha de A\mathbf{X} reproduza a equação dada.]

Passo 3

Explicar como a multiplicação matriz–vetor gera as equações. Seja
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\[4pt]a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}.
Então
A\mathbf{X}= \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt]a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\[4pt]a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}.
A primeira componente de A\mathbf{X} deve ser 3x-5y. Logo devemos ter a_{11}=3 e a_{12}=-5.]

Passo 4

Decidir a segunda linha da matriz A. Como o enunciado não fornece nenhuma equação para \displaystyle \frac{d y}{d t}, a escolha mais simples e padrão é tomar a segunda equação como nula:
\frac{d y}{dt}=0,
o que corresponde a fixar a_{21}=0 e a_{22}=0. Essa escolha produz um sistema matricial que contém exatamente a equação dada (e deixa \,y(t)\, constante quando não existe outra informação).

Passo 5

Escrever o sistema matricial completo e verificar a expansão. Com
A=\begin{pmatrix}3 & -5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
temos
\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}.
Expandindo a primeira linha obtém-se \dfrac{dx}{dt}=3x-5y, que é exatamente a equação do enunciado; a segunda linha dá \dfrac{dy}{dt}=0, compatível com a ausência de informação sobre \dfrac{dy}{dt}.]

Resposta

\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -5\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}]

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