Resolva o sistema utilizando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{array}{l} 2 x+y=5 \\\ x+y=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de duas equações e duas incógnitas e pede para resolvê‑lo usando a Regra de Cramer. As informações fornecidas são:
\begin{cases} 2x + y = 5,\\[4pt] x + y = 3. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de x e y que satisfazem simultaneamente as duas equações, aplicando a Regra de Cramer.]

Passo 2

Explicando a Regra de Cramer de forma bem prática e sem mistério (para matrizes [2\times2)):
  • Considere a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
correspondente ao sistema
\begin{cases} ax+by=p,\\[4pt] cx+dy=q. \end{cases}
  • Defina o determinante de A\] por \[D=\det(A)=ad-bc.\] Para matrizes \(2\times2 essa é a fórmula padrão: multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se o produto da outra diagonal.
  • Se D\neq 0, o sistema tem solução única dada por
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},
onde D_x é o determinante obtido substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos constantes (p,q), e D_y é o determinante obtido substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos constantes (p,q).
Vou aplicar isso diretamente ao sistema do enunciado.]

Passo 3

Identificar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes a partir do sistema:
  • Matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix}.
  • Vetor dos termos constantes (p,q) = (5,3).
Calcular o determinante D=\det(A) usando a fórmula ad-bc:
D = 2\cdot 1 - 1\cdot 1.
Agora faça a conta:
D = 2 - 1 = 1.]

Passo 4

Como D=1\neq 0, há solução única. Agora calculamos D_x: substituir a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos constantes (5,3). A matriz usada em D_x é
\begin{pmatrix}5 & 1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}.
Calcule o determinante:
D_x = 5\cdot 1 - 1\cdot 3 = 5 - 3 = 2.]

Passo 5

Calcular D_y: substituir a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos constantes (5,3). A matriz usada em D_y é
\begin{pmatrix}2 & 5\\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}.
Calcule o determinante:
D_y = 2\cdot 3 - 5\cdot 1 = 6 - 5 = 1.]

Passo 6

Aplicar as fórmulas de Cramer:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{2}{1}=2, \qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{1}{1}=1.
Para ficar mais seguro, é sempre bom checar substituindo na equação original:
  • Verificação na primeira equação: 2x+y = 2\cdot2 + 1 = 4+1 = 5 (ok).
  • Verificação na segunda equação: x+y = 2+1 = 3 (ok).

Resposta

x=2
y=1

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