Classifique os sistemas abaixo em SPD, SPI ou SI:
\left\{\begin{array}{l} x+y=2 \\\\ 2 x-y=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se classifique o sistema linear abaixo (como SPD, SPI ou SI):
\left\{\begin{array}{l} x+y=2\\[4pt] 2x-y=1 \end{array}\right.
Informações dadas:
  • As duas equações lineares em duas incógnitas \,x e \,y.
  • Queremos saber se o sistema tem uma única solução (SPD), infinitas soluções (SPI) ou nenhuma solução (SI).]

Passo 2

Antes de resolver, vamos recapitular de forma bem clara o que cada classificação significa e qual critério prático usar aqui:
  • SPD (sistema possível e determinado): existe exatamente uma solução.
  • SPI (sistema possível e indeterminado): existem infinitas soluções.
  • SI (sistema impossível): não existe solução (contradição).
Para um sistema quadrado 2\times2 como este, um critério rápido é calcular o determinante da matriz dos coeficientes. Relembrando o conceito de determinante para uma matriz 2\times2:
Se
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então o determinante de A é
\det(A)=ad-bc.
Interpretação útil:
  • Se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem uma única solução (SPD).
  • Se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem uma única solução (SPD).
  • Se \det(A)=0, a matriz não é invertível; então o sistema ou tem infinitas soluções (SPI) ou é impossível (SI). Nesse caso é preciso checar a consistência (por exemplo comparando as combinações lineares das equações).

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes do sistema e calculando seu determinante. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula do determinante:
\det(A)=1\cdot(-1)-1\cdot2=-1-2=-3.
Observação: \det(A)=-3 é diferente de zero.]

Passo 4

Pelo critério acima, como \det(A)\neq 0, o sistema tem exatamente uma solução. Para aprender a encontrar essa solução (útil na prova), vamos resolver passo a passo pelo método de eliminação.

Passo 5

Resolver por eliminação (passo a passo, sem pular contas).
As equações são
\begin{cases} x+y=2 & (1)\\[4pt] 2x-y=1 & (2) \end{cases}
Somando a equação (1) com a equação (2) para eliminar y:
(x+y)+(2x-y)=2+1.
No lado esquerdo y e -y se cancelam, ficando
3x=3.
Dividindo por 3:
x=1.
Agora substitui-se x=1 em (1) para achar y:
1+y=2 \quad\Rightarrow\quad y=1.
Checagem rápida na segunda equação:
2x-y=2\cdot1-1=2-1=1,
que coincide com a equação (2). Logo a solução é única e é (x,y)=(1,1).]

Passo 6

Resumo do raciocínio (sem repetir a classificação por extenso): a matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, portanto há exatamente uma solução, que encontramos ser (1,1). Força aí — esse tipo de sistema costuma ser bem direto na prova: calcula o determinante e, se for não nulo, resolve por eliminação ou Cramer rápido.

Resposta

SPD

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