Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{llr}x+y+2 z & = & 8 \\\\ -x-2 y+3 z & = & 1 \\\\ 3 x-7 y+4 z & = & 10\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} x + y + 2z = 8,\\\\ -\,x - 2y + 3z = 1,\\\\ 3x - 7y + 4z = 10, \end{cases}
e o objetivo é usar eliminação de Gauss para obter a matriz ampliada em forma escada, determinar o posto da matriz de coeficientes A e o posto da matriz ampliada [A|b], e então, por ser o sistema possível, achar o grau de liberdade.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada [A|b]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ -1 & -2 & 3 & 1\\\\ 3 & -7 & 4 & 10 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss:
  1. R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & -1 & 5 & 9\\\\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right].
  1. R_2 \leftarrow -\,R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & -10 & -2 & -14 \end{array}\right].
  1. R_3 \leftarrow R_3 + 10\,R_2:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & -52 & -104 \end{array}\right].
  1. R_3 \leftarrow -\tfrac{1}{52}R_3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
Esta é a forma escada da matriz ampliada, com pivôs em colunas 1, 2 e 3.

Passo 4

Como há três pivôs, o posto da matriz de coeficientes A é
\rank(A)=3,
e o posto da ampliada [A|b] também é
\rank([A|b])=3.
O número de incógnitas é n=3, portanto o grau de liberdade é
n - \rank(A) = 3 - 3 = 0.

Resposta

A forma escada da matriz ampliada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 8\\\\ 0 & 1 & -5 & -9\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right].
O posto de A é 3, o posto de [A|b] é 3, e o grau de liberdade é 0.

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