Calcule o determinante da seguinte matriz:
\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & -1 \\\\ 2 & -1 & 1 & 0 \\\\ 3 & 0 & 3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

Temos que calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & -2 & -1 \\[6pt] 2 & -1 & 1 & 0 \\[6pt] 3 & 0 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 4\times4. Vamos usar expansão de Laplace e, em seguida, a regra de Sarrus para um menor 3\times3.]

Passo 2

Observando a quarta coluna de A,
\text{coluna 4} = \begin{pmatrix}0 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix},
há somente um elemento não nulo, na linha 2. Então, pela expansão de Laplace ao longo da coluna 4,
\det(A) = (-1)^{2+4}\,a_{2,4}\,\det\bigl(A_{2,4}\bigr) = (+1)\cdot(-1)\,\det\bigl(A_{2,4}\bigr) = -\det\bigl(A_{2,4}\bigr),
onde A_{2,4} é a matriz obtida de A removendo linha 2 e coluna 4.

Passo 3

O menor A_{2,4} é a matriz 3\times3
B = A_{2,4} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\[4pt] 2 & -1 & 1 \\[4pt] 3 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Logo,
\det(A) = -\det(B).]

Passo 4

Para \det(B), aplicamos a regra de Sarrus ou a fórmula de Laplace para 3\times3. Usando a expansão pela primeira linha,
\det(B) = 2\begin{vmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 0 & 3\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}2 & 1 \\[3pt] 3 & 3\end{vmatrix} +(-2)\begin{vmatrix}2 & -1 \\[3pt] 3 & 0\end{vmatrix}.
Calculando cada determinante 2\times2:
\begin{vmatrix}-1 & 1 \\\\ 0 & 3\end{vmatrix} = (-1)\cdot3 - 1\cdot0 = -3, \quad \begin{vmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 3\end{vmatrix} = 2\cdot3 - 1\cdot3 = 6 - 3 = 3,
\begin{vmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & 0\end{vmatrix} = 2\cdot0 - (-1)\cdot3 = 3.
Substituindo,
\det(B) = 2\,( -3 ) \;-\;1\,(3)\;+\;(-2)\,(3) = -6 - 3 - 6 = -15.]

Passo 5

Como \det(A) = -\det(B), temos
\det(A) = -(-15) = 15.

Resposta

15

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