Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\left\{\begin{array}{llr}x+y+z & = & 6 \\\ x-y-z & = & -4 \\\\ 2 x-y+z & = & 1\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo, temos o sistema
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\ x - y - z = -4,\\\\ 2x - y + z = 1, \end{cases}
vamos usar eliminação de Gauss: montamos a matriz aumentada e a levamos à forma escada. Depois contamos as linhas não nulas para obter o posto da matriz dos coeficientes e da aumentada; como o sistema for possível, o grau de liberdade será n-\text{posto}, onde n=3.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do primeiro pivô (coluna 1):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 1 & -1 & -1 & -4\\\\ 2 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{\substack{R_2\to R_2-R_1\R_3\to R_3-2R_1}} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -2 & -2 & -10\\\\ 0 & -3 & -1 & -11 \end{array}\right)

Passo 3

Tornamos o elemento (2,2) pivô igual a 1 e eliminamos abaixo:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -2 & -2 & -10\\\\ 0 & -3 & -1 & -11 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2\to -\tfrac12R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & -3 & -1 & -11 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3\to R_3+3R_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right)

Passo 4

Escalonamos a terceira linha para ter pivô 1 em (3,3):
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right) \xrightarrow{R_3\to \tfrac12R_3} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)
Agora estamos em forma escada.

Passo 5

Contamos as linhas não nulas na forma escada: há 3.
– O posto da matriz de coeficientes é \operatorname{rank}(A)=3.
– O posto da matriz aumentada é \operatorname{rank}([A|b])=3.
Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=3=n, o sistema é possível e determinado.
O grau de liberdade é
n - \operatorname{rank}(A) = 3 - 3 = 0.

Resposta

posto de A: 3
posto de [A|b]: 3
grau de liberdade: 0

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