Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\begin{cases}x+3 y+z & =0 \\\\ 2 x+6 y+2 z & =0 \\\\ -x-3 y-z & =0\end{cases}

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
\begin{cases} x + 3y + z = 0,\\\\ 2x + 6y + 2z = 0,\\\\ -x - 3y - z = 0, \end{cases}
e pede para montar a matriz ampliada, reduzi-la à forma escada, determinar o posto da matriz de coeficientes A e da ampliada (A\mid b), e, se for possível, achar o grau de liberdade. O conteúdo aqui é eliminação de Gauss e definição de posto.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada (A\mid b) correspondendo às incógnitas (x,y,z):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 2 & 6 & 2 & 0\\\\ -1 & -3 & -1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos operações elementares de linha para obter a forma escada:
  1. L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
  2. L_3 \leftarrow L_3 + L_1
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right],
que é a forma escada desejada.

Passo 4

Na forma escada vemos apenas um pivô não nulo (na primeira linha). Logo:
\mathrm{rank}(A)=1 e \mathrm{rank}(A\mid b)=1.

Passo 5

Como \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A\mid b)=1<3 (número de incógnitas), o sistema é possível indeterminado. O grau de liberdade (número de variáveis livres) é
\text{g.d.l.} = 3 - 1 = 2.

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
posto de A: 1
posto de (A\mid b): 1
grau de liberdade: 2

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