Definição: Dizemos que uma matriz A é simétrica se A=A^{t} e que é antissimétrica se A=-A^{t}.
(a) Cite exemplos de matrizes, não nulas, simétricas e antissimétricas.
(b) Encontre o valor de de maneira que A=\left(\begin{array}{cc}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right) seja uma matriz simétrica.
(c) A matriz M=\left(\begin{array}{ccc}4+a & m_{12} & m_{13} \\\ a & b+2 & m_{23} \\\ b & c & 2 c-8\end{array}\right) é antissimétrica. Determine m_{12}, m_{13} e m_{23}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas envolvendo matrizes simétricas (A=A^{t}) e antissimétricas (A=-A^{t}):
(a) dar exemplos não nulos de cada tipo;
(b) achar x de modo que
A = \begin{pmatrix}2 & x^{2} \\\\ 2x-1 & 0\end{pmatrix}
seja simétrica;
(c) impor que
M = \begin{pmatrix}4+a & m_{12} & m_{13} \\[0.3em] a & b+2 & m_{23} \\[0.3em] b & c & 2c-8\end{pmatrix}
seja antissimétrica e determinar m_{12},m_{13},m_{23}.]
Passo 2
Para (a), basta lembrar as definições: em matriz simétrica os elementos espelhados são iguais, e em antissimétrica eles são opostos (com diagonal zero). Por exemplo, uma matriz 2\times2 simétrica não nula é
A = \begin{pmatrix}1 & 5\\[0.3em]5 & 2\end{pmatrix},
pois A_{12}=5=A_{21}.
Uma matriz 2\times2 antissimétrica não nula é
B = \begin{pmatrix}0 & 3\\[0.3em]-3 & 0\end{pmatrix},