Definição: Dizemos que uma matriz A é simétrica se A=A^{t} e que é antissimétrica se A=-A^{t}.
(a) Cite exemplos de matrizes, não nulas, simétricas e antissimétricas.
(b) Encontre o valor de de maneira que A=\left(\begin{array}{cc}2 & x^{2} \\\\ 2 x-1 & 0\end{array}\right) seja uma matriz simétrica.
(c) A matriz M=\left(\begin{array}{ccc}4+a & m_{12} & m_{13} \\\ a & b+2 & m_{23} \\\ b & c & 2 c-8\end{array}\right) é antissimétrica. Determine m_{12}, m_{13} e m_{23}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas envolvendo matrizes simétricas ( A=A^{t}) e antissimétricas ( A=-A^{t}):
  • (a) dar exemplos não nulos de cada tipo;
  • (b) achar x de modo que
A = \begin{pmatrix}2 & x^{2} \\\\ 2x-1 & 0\end{pmatrix}
seja simétrica;
  • (c) impor que
M = \begin{pmatrix}4+a & m_{12} & m_{13} \\[0.3em] a & b+2 & m_{23} \\[0.3em] b & c & 2c-8\end{pmatrix}
seja antissimétrica e determinar m_{12},m_{13},m_{23}.]

Passo 2

Para (a), basta lembrar as definições: em matriz simétrica os elementos espelhados são iguais, e em antissimétrica eles são opostos (com diagonal zero). Por exemplo, uma matriz 2\times2 simétrica não nula é
A = \begin{pmatrix}1 & 5\\[0.3em]5 & 2\end{pmatrix},
pois A_{12}=5=A_{21}.
Uma matriz 2\times2 antissimétrica não nula é
B = \begin{pmatrix}0 & 3\\[0.3em]-3 & 0\end{pmatrix},
pois B_{12}=3=-B_{21} e B_{11}=B_{22}=0.]

Passo 3

Para (b), exige-se que A=A^{t}, isto é,
x^{2} = 2x - 1.
Resolvendo
x^{2} - 2x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.

Passo 4

Para (c), em toda matriz antissimétrica vale M_{ii}=0 e M_{ij}=-M_{ji}. Das condições sobre a diagonal temos
4 + a = 0 \\ \Rightarrow\\ a=-4, \quad b+2 = 0 \\ \Rightarrow\\ b=-2, \quad 2c -8 = 0 \\ \Rightarrow\\ c=4.
Depois, para os elementos fora da diagonal:
m_{12} = -M_{21} = -a = -(-4) = 4,
m_{13} = -M_{31} = -b = -(-2) = 2,
m_{23} = -M_{32} = -c = -4.

Resposta

(a) Por exemplo,
\begin{pmatrix}1 & 5\\[0.3em]5 & 2\end{pmatrix} \quad\text{(simétrica)}, \qquad \begin{pmatrix}0 & 3\\[0.3em]-3 & 0\end{pmatrix} \quad\text{(antissimétrica)}.éé
(b) x=1.
(c) m_{12}=4,\\ m_{13}=2,\\ m_{23}=-4.]

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