Resolva os sistemas abaixo pela eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=10 \\\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=5 \\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1 \\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=10,\\\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+4x_{4}=5,\\\ x_{1}-x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1,\\\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3, \end{cases}
e pede para resolver por eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, usar operações elementares para chegar à forma escalonada e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 3 & 2 & 1 & 10\\\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos x_{1} em L_{2},L_{3},L_{4} usando L_{i}\leftarrow L_{i}-\tfrac14L_{1} para i=2,3,4. Obtemos
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 3 & 2 & 1 & 10\\\\ 0 & \tfrac54 & \tfrac52 & \tfrac{15}{4} & \tfrac52\\\\ 0 & -\tfrac74 & -\tfrac32 & -\tfrac54 & -\tfrac72\\\\ 0 & \tfrac14 & \tfrac12 & \tfrac34 & \tfrac12 \end{array}\right]

Passo 4

Para simplificar, multiplicamos L_{2},L_{3},L_{4} por 4:
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 3 & 2 & 1 & 10\\\\ 0 & 5 & 10 & 15 & 10\\\\ 0 & -7 & -6 & -5 & -14\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 2 \end{array}\right]

Passo 5

Usando o pivô 5 em L_{2}, eliminamos a coluna 2 em L_{3} e L_{4}:
L_{3}\leftarrow L_{3} + \tfrac{7}{5}L_{2} e
L_{4}\leftarrow L_{4} - \tfrac{1}{5}L_{2}.
Fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 4 & 3 & 2 & 1 & 10\\\\ 0 & 5 & 10 & 15 & 10\\\\ 0 & 0 & 8 & 16 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 6

Da terceira linha temos
8x_{3}+16x_{4}=0 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=-2x_{4}.
Como a quarta linha é 0=0, x_{4} é livre. Denotemos x_{4}=\lambda.

Passo 7

Substituindo em L_{2}:
5x_{2}+10x_{3}+15x_{4}=10 \;\Longrightarrow\;5x_{2}+10(-2\lambda)+15\lambda=10 \;\Longrightarrow\;5x_{2}-5\lambda=10 \;\Longrightarrow\;x_{2}=2+\lambda.
Em L_{1}:
4x_{1}+3x_{2}+2x_{3}+x_{4}=10 \;\Longrightarrow\;4x_{1}+3(2+\lambda)+2(-2\lambda)+\lambda=10 \;\Longrightarrow\;4x_{1}+6=10 \;\Longrightarrow\;x_{1}=1.

Resposta

x_{1}=1,\quad x_{2}=2+\lambda,\quad x_{3}=-2\lambda,\quad x_{4}=\lambda, \quad\lambda\in\mathbb{R}.

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