Resolva os sistemas abaixo pela eliminação de Gauss.
\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+2 x_{3}+4 x_{4}=7,12 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4}=12,02 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=14,9 \\\\ 4 x_{1}+6 x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=20,72\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o seguinte sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas por eliminação de Gauss:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7,12,\\\ x_{1}+x_{2}+5x_{3}+6x_{4}=12,02,\\\\ 2x_{1}+5x_{2}+x_{3}+2x_{4}=14,9,\\\\ 4x_{1}+6x_{2}+2x_{3}+x_{4}=20,72. \end{cases}
O conteúdo é Álgebra Linear: método de eliminação de Gauss, usando operações elementares sobre linhas.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 4 & \vrule & 7{,}12 \\\\ 1 & 1 & 5 & 6 & \vrule & 12{,}02 \\\\ 2 & 5 & 1 & 2 & \vrule & 14{,}9 \\\\ 4 & 6 & 2 & 1 & \vrule & 20{,}72 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos x_{1} das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1:
L_{2}\leftarrow L_{2}-L_{1}, L_{3}\leftarrow L_{3}-2L_{1}, L_{4}\leftarrow L_{4}-4L_{1}. Isso gera o sistema equivalente
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7{,}12,\\\\ 0x_{1}+0x_{2}+3x_{3}+2x_{4}=4{,}90,\\\\ 0x_{1}+3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0{,}66,\\\\ 0x_{1}+2x_{2}-6x_{3}-15x_{4}=-7{,}76. \end{cases}

Passo 4

Usamos a terceira equação para eliminar x_{2} da quarta. Da equação
3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0{,}66
temos x_{2}=\frac{0{,}66+3x_{3}+6x_{4}}{3}. Alternativamente, fazemos
L_{4}\leftarrow L_{4}-\tfrac{2}{3}L_{3},
obtendo
0x_{1}+0x_{2}-4x_{3}-11x_{4}=-8{,}20.
Multiplicando por -1 vem
4x_{3}+11x_{4}=8{,}20.

Passo 5

Resolvemos o [2\times 2) em x_{3},x_{4}:
\begin{cases} 3x_{3}+2x_{4}=4{,}90,\\\\ 4x_{3}+11x_{4}=8{,}20. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 4\] e a segunda por \(3 e subtraindo, achamos
25x_{4}=5\quad\Rightarrow\quad x_{4}=0{,}2.
Substituindo em 3x_{3}+2\cdot0{,}2=4{,}90
3x_{3}=4{,}90-0{,}4=4{,}5\quad\Rightarrow\quad x_{3}=1{,}5.

Passo 6

Com x_{3} e x_{4} em mãos, voltamos à terceira equação 3x_{2}-3x_{3}-6x_{4}=0{,}66:
3x_{2}=0{,}66+3\cdot1{,}5+6\cdot0{,}2=0{,}66+4{,}5+1{,}2=6{,}36 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=2{,}12.
Por fim, usamos a primeira equação x_{1}+x_{2}+2x_{3}+4x_{4}=7{,}12:
x_{1}=7{,}12 - (2{,}12 + 2\cdot1{,}5 + 4\cdot0{,}2) =7{,}12 - (2{,}12+3{,}0+0{,}8)=7{,}12-5{,}92=1{,}20.

Resposta

x_{1}=1{,}20,\quad x_{2}=2{,}12,\quad x_{3}=1{,}50,\quad x_{4}=0{,}20.

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