Resolva os seguintes sistemas lineares pela fatoração LU.
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}+4 x_{3}=6 \\\\ 4 x_{1}+5 x_{2}+10 x_{3}=16 \\\\ 4 x_{1}+8 x_{2}+2 x_{3}=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}+4x_{3}=6,\\\\ 4x_{1}+5x_{2}+10x_{3}=16,\\\\ 4x_{1}+8x_{2}+2x_{3}=2 \end{cases}
usando fatoração \,A=LU, onde L é triangular inferior unitária e U é triangular superior. Em seguida aplicaremos substituição direta em Ly=b e regressiva em Ux=y.

Passo 2

Começamos a fatorar
A=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\\\ 4 & 5 &10\\\\ 4 & 8 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Na primeira coluna, u_{11}=2. Calculamos
\ell_{21}=\frac{4}{2}=2,\quad \ell_{31}=\frac{4}{2}=2.
  1. Atualizamos as linhas 2 e 3:
    linha 2 \leftarrow linha 2 -\ell_{21}\times linha 1
    \Rightarrow \,(0,\,-1,\,2),
    linha 3 \leftarrow linha 3 -\ell_{31}\times linha 1
    \Rightarrow \,(0,\,2,\,-6).
    Então u_{22}=-1, u_{23}=2.
  2. Na segunda coluna,
\ell_{32}=\frac{2}{-1}=-2.
Atualizando linha 3:
linha 3 \leftarrow linha 3 -\ell_{32}\times linha 2
\Rightarrow \,(0,\,0,\,-10).
Assim obtemos
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4\\\\ 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & -10 \end{pmatrix}.

Passo 3

Resolvemos Ly=b com b=(6,16,2)^{T} por substituição direta:
y_{1}=6,
y_{2}=16 - 2\cdot y_{1}=16-12=4,
y_{3}=2 - 2\cdot y_{1} -(-2)\cdot y_{2}=2-12+8=-2.

Passo 4

Resolvemos Ux=y por substituição regressiva:
-10\,x_{3}=y_{3}=-2 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=\frac{-2}{-10}=\frac{1}{5},
-1\,x_{2}+2\,x_{3}=y_{2}=4 \quad\Rightarrow\quad -x_{2}+2\cdot\frac{1}{5}=4 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=-\frac{18}{5},
2\,x_{1}+3\,x_{2}+4\,x_{3}=y_{1}=6 \quad\Rightarrow\quad 2\,x_{1}+3\bigl(-\tfrac{18}{5}\bigr)+4\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)=6 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=8.

Resposta

x_{1}=8,\quad x_{2}=-\frac{18}{5},\quad x_{3}=\frac{1}{5}.

Exercícios relacionados