Resolva os sistemas abaixo usando matrizes:
\left\{\begin{aligned} x+y & =1 \\\\ 3 x+3 y & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y=1,\\[4pt] 3x+3y=0, \end{cases}
e pede para resolvê‑lo usando matrizes.
Informações fornecidas:
  • As incógnitas são x e y.
  • As duas equações lineares são exatamente as acima.
O que se pede:
  • Determinar todas as soluções (x,y) que simultaneamente satisfaçam as duas equações, usando a representação matricial e operações com matrizes.]

Passo 2

Agora vamos escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,, que significa multiplicar a matriz dos coeficientes pela coluna das incógnitas e igualar à coluna dos termos independentes.
Definições:
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]3 & 3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A forma aumentada (matriz dos coeficientes com a coluna dos termos independentes) é
\big(A\mid \mathbf{b}\big)= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\[4pt] 3 & 3 & \mid & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico rapidamente a ideia das operações por linhas: podemos aplicar operações elementares nas linhas da matriz aumentada (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a múltiplo de uma linha a outra) sem alterar o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é obter uma forma mais simples (por exemplo escalonada) que permita verificar soluções ou inconsistências.
Aqui escolhemos eliminar o primeiro coeficiente da segunda linha usando a operação
R_2 \leftarrow R_2 - 3 R_1,
ou seja, substituir a segunda linha pela segunda menos três vezes a primeira.

Passo 4

Aplicando a operação pedida na matriz aumentada temos:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\[4pt] 3 & 3 & \mid & 0 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\,R_2\leftarrow R_2-3R_1\,}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\[4pt] 0 & 0 & \mid & -3 \end{pmatrix}.
O que isso significa em termos de equações:
  • A primeira linha continua representando 1\cdot x + 1\cdot y = 1, isto é \,x+y=1.
  • A segunda linha agora representa 0\cdot x + 0\cdot y = -3, ou seja
0 = -3.]

Passo 5

A equação 0=-3 é uma contradição impossível: não existe par (x,y) que torne isso verdadeiro. Quando, após escalonamento, aparece uma linha da forma 0\\\ 0\mid c com c\neq 0, isso indica que o sistema é inconsistente — não há solução.
Uma forma alternativa e rápida de ver isso sem detritos algébricos: a segunda equação original é simplesmente 3 vezes a primeira membro da primeira equação, mas os termos independentes não satisfazem a mesma relação (o segundo termo independente é 0, enquanto 3\cdot 1=3). Isso produz a contradição.

Passo 6

Interpretação geométrica (intuitiva): as duas equações são retas no plano:
x+y=1\quad\text{e}\quad x+y=0.
Essas retas têm o mesmo eixo normal (mesma direção), portanto são paralelas. Como os termos independentes diferem, são retas distintas e paralelas — logo não se intersectam, confirmando que não existe ponto (x,y) comum que satisfaça ambas.

Passo 7

Pelo critério de posto de matrizes: a matriz dos coeficientes A tem posto \operatorname{rank}(A)=1 (as linhas são proporcionais), enquanto a matriz aumentada (A\mid\mathbf{b}) tem posto \operatorname{rank}(A\mid\mathbf{b})=2 (há uma linha nula nos coeficientes mas com termo independente não nulo). Como \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}(A\mid\mathbf{b}), o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

\text{O sistema é incompatível: não há solução.}éíãáçã

Exercícios relacionados