Questão 60. Resolva os problemas abaixo:
classifique o sistema \left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=4 \\\ x+2 y+z=1 \\\ x+y+2 z=3\end{array}\right. utilizando o teorema de Rouché-Capelli.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas:
\begin{cases} 2x - y + z = 4,\\[4pt] x + 2y + z = 1,\\[4pt] x + y + 2z = 3. \end{cases}
O que se pede: classificar o sistema (ou seja, decidir se é impossível, possível e indeterminado, ou possível e determinado) usando o teorema de Rouché-Capelli.
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes das três equações e os termos independentes 4,1,3.]

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes A e a matriz aumentada [A\mid b] (peguei os coeficientes e os termos independentes das equações dadas):
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad [A\mid b]=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & \mid & 4\\[4pt] 1 & 2 & 1 & \mid & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 & \mid & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Vou explicar o teorema de Rouché-Capelli (de forma direta e prática):
  • Seja A a matriz dos coeficientes e [A\mid b] a matriz aumentada. Denote por \operatorname{rank}(A) o posto (rank) de A e por \operatorname{rank}([A\mid b]) o posto da matriz aumentada.
  • O teorema diz: se \operatorname{rank}(A) \neq \operatorname{rank}([A\mid b]) então o sistema é inconsistente (impossível).
  • Se \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A\mid b]) = r e r é igual ao número de incógnitas n, então o sistema tem solução única (possível e determinado).
  • Se \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}([A\mid b]) = r < n, então o sistema tem infinitas soluções (possível e indeterminado).
Portanto, o objetivo prático é calcular \operatorname{rank}(A) e comparar com \operatorname{rank}([A\mid b]) e com n=3.

Passo 4

Uma maneira simples para verificar o posto de A quando a matriz é quadrada é calcular seu determinante: se \det(A)\neq 0 então \operatorname{rank}(A)=3. Vou calcular \det(A) por expansão de Laplace (cofatores), mostrando todos os passos:
\det(A)= \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(A) =2\cdot\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{vmatrix} -(-1)\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix}.
Agora calculo cada menor 2\times2:
\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 2\end{vmatrix}=2\cdot2-1\cdot1=4-1=3,
\begin{vmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{vmatrix}=1\cdot2-1\cdot1=2-1=1,
\begin{vmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-2\cdot1=1-2=-1.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 3 -(-1)\cdot 1 + 1\cdot(-1)=6 + 1 -1 =6.
Logo \det(A)=6\neq 0.]

Passo 5

Como \det(A)\neq 0, concluímos que \operatorname{rank}(A)=3 (todas as colunas/linhas de A são linearmente independentes). A matriz aumentada [A\mid b] tem no máximo posto 3 (pois tem apenas 3 linhas), então necessariamente
\operatorname{rank}([A\mid b])=\operatorname{rank}(A)=3.
Pelo teorema de Rouché-Capelli, como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=3 e isso é igual ao número de incógnitas n=3, o sistema é consistente e tem solução única.

Passo 6

Para você saber como resolver na prova (um complemento prático): quando \det(A)\neq 0 dá para usar Cramer ou inverter A. Vou ilustrar com a regra de Cramer rapidamente para obter a solução única (não é obrigatório para classificar, mas é útil aprender a aplicar a consequência prática).
Calculei já D=\det(A)=6. Substituindo a primeira coluna pelos termos independentes b=(4,1,3), obtenho
D_x=\begin{vmatrix} 4 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}=6,
portanto x=\dfrac{D_x}{D}=\dfrac{6}{6}=1.
Substituindo a segunda coluna por b:
D_y=\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}=-4,
logo y=\dfrac{D_y}{D}=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}.
Substituindo a terceira coluna por b:
D_z=\begin{vmatrix} 2 & -1 & 4\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}=8,
logo z=\dfrac{D_z}{D}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.
Assim a solução única é \bigl(x,y,z\bigr)=\left(1,\,-\dfrac{2}{3},\,\dfrac{4}{3}\right). (Novamente: isso é extra — a classificação vem só do posto.)]

Resposta

Sistema possível e determinado.

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