Questão 60. Resolva os problemas abaixo:
resolva e classifique o sistema \left\{\begin{array}{c}2 x-y+z=4 \\\ x+2 y+z=1 \\\\ 6 x-3 y+3 z=12\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: resolver o sistema linear e classificá-lo (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução). O sistema dado é
\begin{cases} 2x - y + z = 4,\\[4pt] x + 2y + z = 1,\\[4pt] 6x - 3y + 3z = 12. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas: são três equações lineares com três incógnitas x,y,z.]
Passo 2
Breve aula do método que vou usar (bem mastigada): a solução de um sistema linear pode ser obtida por eliminação de Gauss (operações elementares entre equações). Colocamos o sistema na forma de matriz aumentada (coeficientes + termo independente) e usamos operações que não mudam o conjunto de soluções: trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar a múltiplos de uma linha a outra. Depois reduzimos a matriz para achar pivôs e ver se há inconsistência (linha com zeros nos coeficientes e termo independente não zero) ou variáveis livres (menos pivôs que incógnitas) que geram infinitas soluções. Vou aplicar eliminação de forma explícita, mostrando cada conta.
Passo 3
Escrevo a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes e os termos independentes do enunciado):
Para facilitar a eliminação, escolho a segunda linha como pivô inicial porque já tem 1 na primeira coluna. Vou então permutar linhas (trocar a linha 1 com a linha 2) para ter um 1 no canto superior esquerdo.]
Passo 4
Após trocar R_1 \leftrightarrow R_2 (onde R_i denota a i-ésima linha), a matriz fica
A terceira linha é 0=0, ou seja, não traz nova informação — as três equações originais são linearmente dependentes (a terceira é combinação das anteriores).
A matriz de coeficientes tem dois pivôs (colunas 1 e 2), portanto o posto da matriz de coeficientes é 2.
O vetor de termos independentes também é consistente com essas linhas (nada como 0= \text{não zero}ã), então o posto da matriz aumentada também é 2.
Conclusão pela teoria: posto(coeficientes) = posto(aumentada) = 2 < 3 (número de incógnitas). Logo o sistema é compatível indeterminado — tem infinitas soluções parametrizadas por uma variável livre.
Passo 8
Agora resolvo explicitamente em função de uma variável livre. Das equações escalonadas temos:
A partir de R_2: -5y - z = 2. Reescrevendo,-5y - z = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad 5y + z = -2.Assimy = \frac{-2 - z}{5}.
A partir de R_1: x + 2y + z = 1. Substituo y em função de z:x = 1 - 2y - z.Substituindo y = \dfrac{-2 - z}{5},x = 1 - 2\left(\frac{-2 - z}{5}\right) - z.