Resolva os sistemas abaixo usando o método da matriz inversa considerando [A \mid I] :
(a) \{\begin{array}{l}3 x+y=5 \\\\ 2 x-2 y=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 3x + y = 5,\\\\ 2x - 2y = 2 \end{cases}
e pede para resolver pelo método da matriz inversa usando o procedimento de Gauss–Jordan em [A\mid I]. Vamos precisar lembrar que a solução é
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b},
onde A é a matriz dos coeficientes e \mathbf{b} o vetor dos termos independentes.

Passo 2

Escrevemos
A = \begin{pmatrix}3 & 1\\[6pt]2 & -2\end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}, \quad [A\mid I] = \begin{pmatrix} 3 & 1 & \mid & 1 & 0\\[3pt] 2 & -2 & \mid & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aplicamos operações de linha para transformar o bloco esquerdo em I.]

Passo 3

Primeiro anulamos o elemento abaixo de 3:
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{2}{3}R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 1 & \mid & 1 & 0\\[3pt] 0 & -\tfrac{8}{3} & \mid & -\tfrac{2}{3} & 1 \end{pmatrix}.
Em seguida, escalonamos R_2 para fazer o pivô igual a 1:
R_2 \leftarrow -\tfrac{3}{8}R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 1 & \mid & 1 & 0\\[3pt] 0 & 1 & \mid & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} \end{pmatrix}.
Agora anulamos o elemento acima do pivô em R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 3 & 0 & \mid & \tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{8}\\[3pt] 0 & 1 & \mid & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} \end{pmatrix}.
Por fim, escalonamos R_1 para pivô 1:
R_1 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & \mid & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8}\\[3pt] 0 & 1 & \mid & \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Do lado direito do palco temos
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} \end{pmatrix}.
O vetor de termos independentes é \mathbf{b}=(5,2)^\mathsf{T}. Logo,
\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8}\\[4pt] \tfrac{1}{4} & -\tfrac{3}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{4}\cdot 5 + \tfrac{1}{8}\cdot 2\\[6pt] \tfrac{1}{4}\cdot 5 - \tfrac{3}{8}\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{6}{4}\\[4pt] \tfrac{4}{8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

x = \tfrac{3}{2},\quad y = \tfrac{1}{2}.

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