Resolva os sistemas abaixo usando o método da matriz inversa considerando [A \mid I] :
(b) \{\begin{array}{l}4 x-3 y=6 \\\\ -2 x+y=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 4x - 3y = 6,\\\\ -2x + y = -1 \end{cases}
pelo método da matriz inversa, ou seja, montar A e calcular A^{-1} de forma que
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = A^{-1}\,\begin{pmatrix}6\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 2

Definimos
A = \begin{pmatrix}4 & -3 \\\\ -2 & 1\end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
e o vetor de termos independentes
\displaystyle b = \begin{pmatrix}6\\\ -1\end{pmatrix}.
Começamos com a matriz aumentada \bigl[A\mid I\bigr]:
\bigl[A\mid I\bigr] = \begin{pmatrix} 4 & -3 & \bigm| & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & \bigm| & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Aplicamos operações para transformar a parte esquerda em I.
  1. Pivot em a_{11}: R_1 \leftarrow \tfrac1{4}R_1 e em seguida eliminar abaixo:
R_1 \to \frac1{4}R_1: \quad \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac34 & \bigm| & \tfrac14 & 0\\\\ -2 & 1 & \bigm| & 0 & 1 \end{pmatrix},
R_2 \to R_2 + 2R_1: \quad \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac34 & \bigm| & \tfrac14 & 0\\\\ 0 & -\tfrac12 & \bigm| & \tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

  1. Pivot em a_{22}: R_2 \leftarrow R_2/(-\tfrac12) e depois eliminar acima:
R_2 \to \frac{R_2}{-\tfrac12}: \quad \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac34 & \bigm| & \tfrac14 & 0\\\\ 0 & 1 & \bigm| & -1 & -2 \end{pmatrix},
R_1 \to R_1 + \tfrac34\,R_2: \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & \bigm| & -\tfrac12 & -\tfrac32\\\\ 0 & 1 & \bigm| & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Agora a parte esquerda é I e a direita é A^{-1}:
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & -\tfrac32\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente, obtemos \bigl(x,y\bigr)^T = A^{-1}b:
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac12 & -\tfrac32\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}6\\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac12\cdot6 + \bigl(-\tfrac32\bigr)\cdot(-1)\\\\ -1\cdot6 + (-2)\cdot(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + \tfrac32\\\\ -6 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac32\\\\ -4 \end{pmatrix}.

Resposta

x = -\tfrac{3}{2},\quad y = -4

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