Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
O enunciado apresenta dois sistemas lineares e pede que sejam resolvidos por dois métodos iterativos: Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel. Para cada sistema também pede que seja verificado o critério de convergência.
Critério de parada pedido: \epsilon \le 0,05\). Vou usar como critério prático o máximo valor absoluto entre as componentes de duas iterações consecutivas, isto é o norma infinito da diferença:
\[\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty \le 0,05.
verificar critério de convergência (dominância diagonal e cálculo do raio espectral do operador de iteração quando necessário);
aplicar Gauss–Jacobi (Jacobi) até (|x{(k+1)}-x{(k)}|_\infty\le0,05] e mostrar iterações;
aplicar Gauss–Seidel (Seidel) com o mesmo critério e mostrar iterações.]
Passo 2
Breve explicação prática — como usar Jacobi e Gauss–Seidel na prova (aula rápida e direta).
Ideia básica: reescrever cada equação isolando a incógnita principal. Por exemplo para uma equação da forma a_{ii}x_i+\sum_{j\ne i} a_{ij}x_j=b_i isolamos
Gauss–Jacobi: para calcular x^{(k+1)}_i usa-se somente os valores da iteração anterior x^{(k)} em todos os termos à direita (toda atualização é simultânea).
Gauss–Seidel: ao calcular x^{(k+1)}_i já se usa, quando disponível, o valor mais recente x^{(k+1)}_j para j<i (atualizações sequenciais, aproveitam valores atualizados).
Critério de convergência:
Condição suficiente simples: se a matriz dos coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todas as linhas) então tanto Jacobi quanto Seidel convergem.
Condição necessária e suficiente para convergência do método iterativo linear: o raio espectral da matriz de iteração B deve satisfazer \rho(B)<1. Para Jacobi a matriz de iteração é B_J=-D^{-1}(L+U). Para Seidel é B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Vou checar diagonalidade primeiro; se não for estrita eu calculo \rho(B_J) (ou argumento análogo) para decidir.
Critério de parada (repetindo): vou usar \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty \le 0{,}05.
Agora aplico isso sistematicamente a cada sistema.
Sistema 1 (primeiro sistema)
Passo 3
Preparação para Gauss–Jacobi (Sistema 1).
Isolar as incógnitas a partir das equações (peguei os coeficientes do enunciado):
Verificação de dominância diagonal: as linhas 1 e 2 têm igualdade:
|3| = |2|+|{-1}| = 3,\qquad |{-4}| = |2|+|2| =4,
logo não há dominância estrita por todas as linhas (duas são apenas iguais), então a condição suficiente simples falha. Então calculo \rho(B_J) para verificar convergência necessária e suficiente.
Cálculo do polinômio característico de B_J (detalhado, para checar \rho):
o polinômio resultou (após contas algébricas) em
30\lambda^{3}+11\lambda+3=0,
cuja raiz real é aproximadamente \lambda_1\approx -0{,}236. Os dois outros autovalores são conjugados complexos e têm módulo aproximadamente 0{,}65. Assim
\rho(B_J)\approx0{,}65<1.
Conclusão: Jacobi converge para este sistema (mesmo sem dominância estrita em todas as linhas) porque \rho(B_J)<1. Como \rho(B_{GS}) costuma ser ainda menor, Seidel também deve convergir — vou calcular explicitamente B_{GS} abaixo.]
Passo 4
Iterações de Gauss–Jacobi (Sistema 1) com X^{(0)}=(1;1{,}5;0)^{T} e regra de parada \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty\le0{,}05.
Cálculos (mostro iterações até o critério ser satisfeito; arredondei números para 9 casas decimais nas contas intermédias e apresento resultados com 9 casas para clareza):
Gauss–Seidel (Sistema 1): verificação e iterações.
Cálculo explícito de B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Primeiro construí D+L (matriz triangular inferior) e calculei sua inversa resolvendo sistemas triangulares; o resultado foi