2 Resolva os sistemas abaixo usando os métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Verifique o critério de convergência para cada caso.
\begin{gathered} X^{(0)}=(1 ; 1,5 ; 0)^{T} \text { e } \epsilon<=0,05 \\\ \left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}-4 x_{2}+2 x_{3}=-4 \\\\ -x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=3 \end{array}\right. \\\ X^{(0)}=(0 ; 0 ; 0)^{T} \mathrm{e} \epsilon<=0,05 \\\ \left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 3 x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=13 \\\\ 3 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}=0 \end{array}\right. \end{gathered}

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • O enunciado apresenta dois sistemas lineares e pede que sejam resolvidos por dois métodos iterativos: Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel. Para cada sistema também pede que seja verificado o critério de convergência.
  • Critério de parada pedido: \epsilon \le 0,05\). Vou usar como critério prático o máximo valor absoluto entre as componentes de duas iterações consecutivas, isto é o norma infinito da diferença: \[\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty \le 0,05.
Dados do primeiro sistema:
\begin{cases} 3x_{1}+2x_{2}-x_{3}=8,\\[4pt] 2x_{1}-4x_{2}+2x_{3}=-4,\\[4pt] - x_{1}+x_{2}+5x_{3}=3, \end{cases} \qquad X^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1{,}5\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad \epsilon\le 0,05.
Dados do segundo sistema:
\begin{cases} 5x_{1}+x_{2}+x_{3}=6,\\[4pt] 3x_{1}+4x_{2}+x_{3}=13,\\[4pt] 3x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=0, \end{cases} \qquad X^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix},\quad \epsilon\le 0,05.
O que vou entregar: para cada sistema
  • verificar critério de convergência (dominância diagonal e cálculo do raio espectral do operador de iteração quando necessário);
  • aplicar Gauss–Jacobi (Jacobi) até (|x{(k+1)}-x{(k)}|_\infty\le0,05] e mostrar iterações;
  • aplicar Gauss–Seidel (Seidel) com o mesmo critério e mostrar iterações.]

Passo 2

Breve explicação prática — como usar Jacobi e Gauss–Seidel na prova (aula rápida e direta).
  • Ideia básica: reescrever cada equação isolando a incógnita principal. Por exemplo para uma equação da forma a_{ii}x_i+\sum_{j\ne i} a_{ij}x_j=b_i isolamos
x_i=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\ne i} a_{ij}x_j\Bigr).
  • Gauss–Jacobi: para calcular x^{(k+1)}_i usa-se somente os valores da iteração anterior x^{(k)} em todos os termos à direita (toda atualização é simultânea).
  • Gauss–Seidel: ao calcular x^{(k+1)}_i já se usa, quando disponível, o valor mais recente x^{(k+1)}_j para j<i (atualizações sequenciais, aproveitam valores atualizados).
Critério de convergência:
  • Condição suficiente simples: se a matriz dos coeficientes é estritamente diagonalmente dominante por linhas (ou seja |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para todas as linhas) então tanto Jacobi quanto Seidel convergem.
  • Condição necessária e suficiente para convergência do método iterativo linear: o raio espectral da matriz de iteração B deve satisfazer \rho(B)<1. Para Jacobi a matriz de iteração é B_J=-D^{-1}(L+U). Para Seidel é B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Vou checar diagonalidade primeiro; se não for estrita eu calculo \rho(B_J) (ou argumento análogo) para decidir.
Critério de parada (repetindo): vou usar \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty \le 0{,}05.
Agora aplico isso sistematicamente a cada sistema.

Sistema 1 (primeiro sistema)

Passo 3

Preparação para Gauss–Jacobi (Sistema 1).
  • Isolar as incógnitas a partir das equações (peguei os coeficientes do enunciado):
\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{3}\bigl(8-2x_2+x_3\bigr),\\[4pt] x_2 &= 1+\tfrac{1}{2}x_1+\tfrac{1}{2}x_3,\\[4pt] x_3 &= \frac{1}{5}\bigl(3+x_1-x_2\bigr). \end{aligned}
  • Forma matricial: A x=b com
A=\begin{pmatrix}3&2&-1\\[2pt]2&-4&2\\[2pt]-1&1&5\end{pmatrix}, \qquad D=\operatorname{diag}(3,-4,5).
  • A matriz de iteração de Jacobi é B_J=-D^{-1}(L+U). Calculando (mostrando os passos):
D^{-1}=\operatorname{diag}\bigl(\tfrac{1}{3},-\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{5}\bigr),
L+U=\begin{pmatrix}0&2&-1\\[2pt]2&0&2\\[2pt]-1&1&0\end{pmatrix},
logo
B_J=\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5} & 0 \end{pmatrix}.
Verificação de dominância diagonal: as linhas 1 e 2 têm igualdade:
|3| = |2|+|{-1}| = 3,\qquad |{-4}| = |2|+|2| =4,
logo não há dominância estrita por todas as linhas (duas são apenas iguais), então a condição suficiente simples falha. Então calculo \rho(B_J) para verificar convergência necessária e suficiente.
Cálculo do polinômio característico de B_J (detalhado, para checar \rho):
o polinômio resultou (após contas algébricas) em
30\lambda^{3}+11\lambda+3=0,
cuja raiz real é aproximadamente \lambda_1\approx -0{,}236. Os dois outros autovalores são conjugados complexos e têm módulo aproximadamente 0{,}65. Assim
\rho(B_J)\approx0{,}65<1.
Conclusão: Jacobi converge para este sistema (mesmo sem dominância estrita em todas as linhas) porque \rho(B_J)<1. Como \rho(B_{GS}) costuma ser ainda menor, Seidel também deve convergir — vou calcular explicitamente B_{GS} abaixo.]

Passo 4

Iterações de Gauss–Jacobi (Sistema 1) com X^{(0)}=(1;1{,}5;0)^{T} e regra de parada \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty\le0{,}05.
Fórmulas usadas (repetindo):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1}{3}\bigl(8-2x_2^{(k)}+x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= 1+\tfrac{1}{2}x_1^{(k)}+\tfrac{1}{2}x_3^{(k)},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \tfrac{1}{5}\bigl(3+x_1^{(k)}-x_2^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Cálculos (mostro iterações até o critério ser satisfeito; arredondei números para 9 casas decimais nas contas intermédias e apresento resultados com 9 casas para clareza):
  • k=0 (inicial) \,x^{(0)}=(1{,}000000000,\;1{,}500000000,\;0{,}000000000).
  • k=1:
x^{(1)}=(1{,}666666667,\;1{,}500000000,\;0{,}500000000).
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=0{,}666666667.
  • k=2:
x^{(2)}=(1{,}833333333,\;2{,}083333333,\;0{,}633333333).
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=0{,}583333333.
  • k=3:
x^{(3)}=(1{,}488888889,\;2{,}233333333,\;0{,}550000000).
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0{,}344444444.
  • k=4:
x^{(4)}=(1{,}361111111,\;2{,}019444444,\;0{,}451111111).
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty=0{,}213888889.
  • k=5:
x^{(5)}=(1{,}470740741,\;1{,}906111111,\;0{,}468333333).
\|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty=0{,}113333333.
  • k=6:
x^{(6)}=(1{,}552037037,\;1{,}969537037,\;0{,}512925926).
\|x^{(6)}-x^{(5)}\|_\infty=0{,}081296296.
  • k=7:
x^{(7)}=(1{,}524617283,\;2{,}032481482,\;0{,}516500000).
\|x^{(7)}-x^{(6)}\|_\infty=0{,}062944445.
  • k=8:
x^{(8)}=(1{,}483845673,\;2{,}020558640,\;0{,}498427158).
\|x^{(8)}-x^{(7)}\|_\infty=0{,}040771610<0{,}05.
Parou em k=8. Solução aproximada por Jacobi (com precisão pedida) é
x\approx\begin{pmatrix}1{,}483845673\\[2pt]2{,}020558640\\[2pt]0{,}498427158\end{pmatrix}.]

Passo 5

Gauss–Seidel (Sistema 1): verificação e iterações.
  • Cálculo explícito de B_{GS}=-(D+L)^{-1}U. Primeiro construí D+L (matriz triangular inferior) e calculei sua inversa resolvendo sistemas triangulares; o resultado foi
(D+L)^{-1}= \begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{6} & -\tfrac{1}{4} & 0\\[4pt] \tfrac{1}{30} & \tfrac{1}{20} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.
Multiplicando por U (matriz estritamente superior) obtive
B_{GS}=\begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3}\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3}\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{15} & -\tfrac{1}{15} \end{pmatrix}.
Cálculo do polinômio característico deu autovalores \{0,\\ \text{complex conjugados}\} com módulo dos complexos aproximadamente 0{,}2582. Portanto
\rho(B_{GS})\approx0{,}2582<1,
logo Seidel converge (e é mais rápido que Jacobi aqui).
Agora iterações Seidel com X^{(0)}=(1;1{,}5;0)^{T}.
Fórmulas (uso imediatos dos valores atualizados):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1}{3}\bigl(8-2x_2^{(k)}+x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= 1+\tfrac{1}{2}x_1^{(k+1)}+\tfrac{1}{2}x_3^{(k)},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \tfrac{1}{5}\bigl(3+x_1^{(k+1)}-x_2^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
Iterações (mostro até o critério ser satisfeito):
  • k=0 inicial x^{(0)}=(1{,}000000000,\;1{,}500000000,\;0{,}000000000).
  • k=1:
x^{(1)}=(1{,}666666667,\;1{,}833333333,\;0{,}566666667).
\|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=0{,}833333333.
  • k=2:
x^{(2)}=(1{,}633333333,\;2{,}100000000,\;0{,}506666667).
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=0{,}266666667.
  • k=3:
x^{(3)}=(1{,}435555556,\;1{,}971111115,\;0{,}492888889).
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0{,}197777778.
  • k=4:
x^{(4)}=(1{,}516888886,\;2{,}004888888,\;0{,}502400000).
\|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty=0{,}081333330.
  • k=5:
x^{(5)}=(1{,}497540742,\;1{,}999970371,\;0{,}499514074).
\|x^{(5)}-x^{(4)}\|_\infty=0{,}019348144<0{,}05.
Parou em k=5. Solução aproximada por Gauss–Seidel:
x\approx\begin{pmatrix}1{,}497540742\\[2pt]1{,}999970371\\[2pt]0{,}499514074\end{pmatrix}.

Sistema 2 (segundo sistema)]

Passo 6

Preparação e verificação (Sistema 2).
  • Isolando variáveis:
\begin{aligned} x_1 &= \tfrac{1}{5}\bigl(6-x_2-x_3\bigr),\\[4pt] x_2 &= \tfrac{1}{4}\bigl(13-3x_1-x_3\bigr),\\[4pt] x_3 &= \tfrac{1}{6}\bigl(-3x_1-3x_2\bigr). \end{aligned}
  • Matriz dos coeficientes:
A=\begin{pmatrix}5&1&1\\[2pt]3&4&1\\[2pt]3&3&6\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(5,4,6).
  • Verificação de dominância diagonal por linhas:
|5|>1+1=2\\ (\text{linha 1, estrita}),\quad |4|=3+1=4\\ (\text{linha 2, igualdade}),\quad |6|=3+3=6\\ (\text{linha 3, igualdade}).
Não há dominância estrita em todas as linhas, então a condição suficiente simples falha.
  • Cálculo da matriz de Jacobi:
B_J=-D^{-1}(L+U)= \begin{pmatrix} 0 & -\tfrac{1}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{3}{4} & 0 & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico (após cálculos) é
\lambda^{3}-0{,}375\lambda+0{,}1=0,
com um autovalor real aproximadamente \lambda\approx -0{,}719 e um par complexo conjugado com módulo aproximadamente 0{,}377. Assim
\rho(B_J)\approx0{,}719<1,
logo Jacobi converge.
  • Também pode-se mostrar que B_{GS} tem \rho(B_{GS}) ainda menor, então Seidel deve convergir também.]

Passo 7

Iterações de Gauss–Jacobi (Sistema 2) com X^{(0)}=(0;0;0)^{T}.
Formulas Jacobi:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1}{5}\bigl(6-x_2^{(k)}-x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(13-3x_1^{(k)}-x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(-3x_1^{(k)}-3x_2^{(k)}\bigr). \end{aligned}
Iterações (vou mostrar até o \|\,\cdot\,\|_\infty\le0{,}05):
  • k=0: x^{(0)}=(0,0,0).
  • k=1: x^{(1)}=(1{,}2,\;3{,}25,\;0).
  • k=2: x^{(2)}=(0{,}55,\;2{,}35,\;-2{,}225).
  • k=3: x^{(3)}=(1{,}175,\;3{,}39375,\;-1{,}45).
  • k=4: x^{(4)}=(0{,}81125,\;2{,}73125,\;-2{,}284375).
  • k=5: x^{(5)}=(1{,}110625,\;3{,}21265625,\;-1{,}77125).
  • k=6: x^{(6)}=(0{,}91171875,\;2{,}85984375,\;-2{,}161640625).
  • k=7: x^{(7)}=(1{,}060359375,\;3{,}10662109375,\;-1{,}88578125).
  • k=8: x^{(8)}=(0{,}95583203125,\;2{,}92617578125,\;-2{,}083490234375).
  • k=9: x^{(9)}=(1{,}031462890625,\;3{,}05399853515625,\;-1{,}94100390625).
  • k=10: x^{(10)}=(0{,}97740107421875,\;2{,}96165380859375,\;-2{,}042730712890625).
  • k=11: x^{(11)}=(1{,}0162153807,\;3{,}0276318724,\;-1{,}9695274416).
  • k=12: x^{(12)}=(0{,}9883791138,\;2{,}9802203249,\;-2{,}0219236266).
  • k=13: x^{(13)}=(1{,}0083406603,\;3{,}0141965713,\;-1{,}9842997194), com
    \|x^{(13)}-x^{(12)}\|_\infty\approx0{,}0376<0{,}05.
Parou em k=13. Solução aproximada por Jacobi:
x\approx\begin{pmatrix}1{,}0083406603\\[2pt]3{,}0141965713\\[2pt]-1{,}9842997194\end{pmatrix}.]

Passo 8

Gauss–Seidel (Sistema 2): iterações com X^{(0)}=(0;0;0)^{T}.
Regras Seidel (usar valores atualizados quando disponíveis):
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \tfrac{1}{5}\bigl(6-x_2^{(k)}-x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \tfrac{1}{4}\bigl(13-3x_1^{(k+1)}-x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \tfrac{1}{6}\bigl(-3x_1^{(k+1)}-3x_2^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
Iterações:
  • k=0 inicial x^{(0)}=(0,0,0).
  • k=1:
x^{(1)}=(1{,}2,\;2{,}35,\;-1{,}775).
  • k=2:
x^{(2)}=(1{,}085,\;2{,}88,\;-1{,}9825).
  • k=3:
x^{(3)}=(1{,}0205,\;2{,}98025,\;-2{,}000375).
  • k=4:
x^{(4)}=(1{,}004025,\;2{,}997075,\;-2{,}00055),
com \|x^{(4)}-x^{(3)}\|_\infty\approx0{,}0168<0{,}05.
Parou em k=4. Solução aproximada por Gauss–Seidel:
x\approx\begin{pmatrix}1{,}004025\\[2pt]2{,}997075\\[2pt]-2{,}00055\end{pmatrix}.]

Resposta

Sistema 1 — Gauss–Jacobi: \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}1{,}483845673\\[2pt]2{,}020558640\\[2pt]0{,}498427158\end{pmatrix} (parou em k=8)
Sistema 1 — Gauss–Seidel: \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}1{,}497540742\\[2pt]1{,}999970371\\[2pt]0{,}499514074\end{pmatrix} (parou em k=5)
Sistema 2 — Gauss–Jacobi: \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}1{,}0083406603\\[2pt]3{,}0141965713\\[2pt]-1{,}9842997194\end{pmatrix} (parou em k=13)
Sistema 2 — Gauss–Seidel: \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}1{,}004025\\[2pt]2{,}997075\\[2pt]-2{,}00055\end{pmatrix} (parou em k=4)]

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