Se A=\left[\begin{array}{ll}1 & 7 \\\\ 2 & 6\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 4 & 3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\\\ 2 & 0\end{array}\right]. determine X em cada uma das equações abaixo:
2 X+A-3 B+C

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{array}\right],\qquad C=\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{array}\right]
e pede determinar X na equação
2X + A - 3B + C = \mathbf{0},
onde \mathbf{0} é a matriz nula 2\times2. Vou resolver isolando X passo a passo.]

Passo 2

Regra básica que vamos usar: soma e subtração de matrizes são feitas entrada a entrada, e multiplicação por escalar distribui para cada entrada. Para isolar X na equação dada, passo os termos que não contêm X para o lado direito:
2X = -A + 3B - C.
Agora calculamos o lado direito elemento a elemento.

Passo 3

Calcular 3B (multiplicar cada entrada de B por 3):
3B = 3\cdot\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\[4pt] 4 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}6 & 3 \\[4pt] 12 & 9\end{array}\right].
Explicando rápido: multiplicar por escalar significa (3B)_{ij} = 3\cdot B_{ij}.]

Passo 4

Calcular -A (mudar sinal de cada entrada de A):
-A = -1\cdot\left[\begin{array}{ll}1 & 7 \\[4pt] 2 & 6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}-1 & -7 \\[4pt] -2 & -6\end{array}\right].]

Passo 5

Calcular -C (mudar sinal de cada entrada de C):
-C = -1\cdot\left[\begin{array}{ll}0 & 2 \\[4pt] 2 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}0 & -2 \\[4pt] -2 & 0\end{array}\right].]

Passo 6

Somar -A + 3B - C entrada a entrada. Faço isso componente por componente:
\begin{array}{ll} (1,1): & -1 + 6 + 0 = 5,\\[4pt] (1,2): & -7 + 3 - 2 = -6,\\[4pt] (2,1): & -2 + 12 - 2 = 8,\\[4pt] (2,2): & -6 + 9 + 0 = 3. \end{array}
Portanto
2X = \left[\begin{array}{ll}5 & -6 \\[4pt] 8 & 3\end{array}\right].]

Passo 7

Para obter X dividimos por 2 (ou multiplicamos por 1/2), isto é, aplicamos o escalar 1/2 a cada entrada:
X = \tfrac{1}{2}\,2X = \tfrac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}5 & -6 \\[4pt] 8 & 3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}\tfrac{5}{2} & -3 \\[4pt] 4 & \tfrac{3}{2}\end{array}\right].
Explicação: (\tfrac{1}{2}M)_{ij} = \tfrac{1}{2}\,M_{ij}, então cada entrada foi dividida por 2.]

Passo 8

Cheque rápido (motivacional): multiplicando X por 2 e somando A-3B+C deve dar a matriz nula. Como construímos X a partir de 2X=-A+3B-C, essa verificação fecha corretamente.

Resposta

X=\left[\begin{array}{ll}\tfrac{5}{2} & -3 \\[4pt] 4 & \tfrac{3}{2}\end{array}\right]]

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