Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral: X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}12 & 2 \\\\ -8 & 4\end{array}\right) X
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear autônomo de EDOs do primeiro grau e pede a solução geral X(t). As informações fornecidas são:
X' = A X,\qquad A=\begin{pmatrix}12 & 2\\[4pt]-8 & 4\end{pmatrix},
onde X(t) é um vetor coluna com duas componentes (funções de t). A pergunta é: encontrar a solução geral X(t) (ou seja, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).]
Passo 2
Vamos procurar autovalores de A. Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Usamos a fórmula do determinante de 2\times2:
As duas equações são dependentes; basta a primeira: 4x+2y=0\Rightarrow 2x+y=0\Rightarrow y=-2x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Perceba que a multiplicidade geométrica (número de autovetores independentes) é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso indica que A não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado para construir a base de soluções.]
Passo 4
Explico o que é um autovetor generalizado: quando temos autovalor repetido e falta autovetores, buscamos um vetor w tal que
(A-8I)w = v.
Esse w é chamado de vetor generalized (de cadeia de Jordan) e nos permite obter uma segunda solução independente da forma e^{8t}(t v + w). Agora vamos resolver (A-8I)w=v. Escrevendo w=(a,b), a equação é
que são, novamente, equações equivalentes (a segunda é -2 vezes a primeira). Da primeira obtemos 2a+b=\tfrac{1}{2}\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}-2a. Podemos escolher qualquer a conveniente; escolho a=0 para simplificar, então b=\tfrac{1}{2}. Assim um autovetor generalizado é