Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}12 & 2 \\\\ -8 & 4\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear autônomo de EDOs do primeiro grau e pede a solução geral X(t). As informações fornecidas são:
X' = A X,\qquad A=\begin{pmatrix}12 & 2\\[4pt]-8 & 4\end{pmatrix},
onde X(t) é um vetor coluna com duas componentes (funções de t). A pergunta é: encontrar a solução geral X(t) (ou seja, a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).]

Passo 2

Vamos procurar autovalores de A. Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I). Usamos a fórmula do determinante de 2\times2:
\det(A-\lambda I)=(12-\lambda)(4-\lambda)- (2)(-8).
Agora expandimos e simplificamos:
(12-\lambda)(4-\lambda)+16 = 48 -12\lambda -4\lambda +\lambda^2 +16 = \lambda^2 -16\lambda +64.
Reconhecemos um quadrado perfeito:
\lambda^2 -16\lambda +64 = (\lambda-8)^2.
Logo o autovalor é \lambda=8 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 3

Calculamos autovetores associados a \lambda=8 resolvendo (A-8I)v=0. Escrevendo a matriz:
A-8I = \begin{pmatrix}12-8 & 2\\[4pt]-8 & 4-8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-8 & -4\end{pmatrix}.
A equação (A-8I)v=0 dá o sistema
4x+2y=0,\qquad -8x-4y=0.
As duas equações são dependentes; basta a primeira: 4x+2y=0\Rightarrow 2x+y=0\Rightarrow y=-2x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Perceba que a multiplicidade geométrica (número de autovetores independentes) é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso indica que A não é diagonalizável e precisamos de um autovetor generalizado para construir a base de soluções.]

Passo 4

Explico o que é um autovetor generalizado: quando temos autovalor repetido e falta autovetores, buscamos um vetor w tal que
(A-8I)w = v.
Esse w é chamado de vetor generalized (de cadeia de Jordan) e nos permite obter uma segunda solução independente da forma e^{8t}(t v + w). Agora vamos resolver (A-8I)w=v. Escrevendo w=(a,b), a equação é
\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-8 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\[4pt]b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
4a+2b=1,\qquad -8a-4b=-2,
que são, novamente, equações equivalentes (a segunda é -2 vezes a primeira). Da primeira obtemos 2a+b=\tfrac{1}{2}\Rightarrow b=\tfrac{1}{2}-2a. Podemos escolher qualquer a conveniente; escolho a=0 para simplificar, então b=\tfrac{1}{2}. Assim um autovetor generalizado é
w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construímos a primeira solução fundamental usando o autovetor v. Definimos
X_1(t)=e^{8t}v = e^{8t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Mostro que é solução: X_1'(t)=8e^{8t}v. Como Av=8v, segue A X_1(t)=e^{8t}A v = e^{8t}8v = X_1'(t). Portanto X_1 satisfaz o sistema.]

Passo 6

Construímos a segunda solução usando o vetor generalizado w. Proponho
X_2(t)=e^{8t}\bigl(t v + w\bigr).
Vou verificar que X_2 satisfaz a EDO. Derivando:
X_2'(t) = 8e^{8t}(t v + w) + e^{8t} v = e^{8t}\bigl(8t v + 8w + v\bigr).
Por outro lado,
A X_2(t) = e^{8t}\bigl(t A v + A w\bigr) = e^{8t}\bigl(t\cdot 8 v + A w\bigr) = e^{8t}\bigl(8t v + A w\bigr).
Mas como (A-8I)w=v, temos A w = 8w + v. Substituindo:
A X_2(t) = e^{8t}\bigl(8t v + 8w + v\bigr) = X_2'(t).
Logo X_2 também é solução. As soluções X_1 e X_2 são linearmente independentes, então formam uma base de soluções para o sistema de ordem 2.

Passo 7

A solução geral é a combinação linear das duas soluções fundamentais:
X(t) = C_1 X_1(t) + C_2 X_2(t),
com constantes arbitrárias C_1,C_2\in\mathbb{R}. Substituindo v e w obtemos em forma vetorial:
X(t) = e^{8t}\left[ C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + C_2\left(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\right)\right].
Se preferir as componentes explícitas, escrevemos
X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix} \quad\text{com}\quad x_1(t)=e^{8t}\bigl(C_1 + C_2 t\bigr),
x_2(t)=e^{8t}\bigl(-2C_1 -2C_2 t + \tfrac{1}{2}C_2\bigr) = e^{8t}\bigl(-2C_1 + \tfrac{1}{2}C_2 -2C_2 t\bigr).]

Resposta

X(t)=e^{8t}\left[ C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + C_2\left(t\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\right)\right],\quad C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

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