Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}12 & 1 \\\\ 9 & 4\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
X'(t)=\begin{pmatrix}12 & 1 \\[4pt] 9 & 4\end{pmatrix}X(t).
Informações dadas: a matriz de coeficientes é
A=\begin{pmatrix}12 & 1 \\[4pt] 9 & 4\end{pmatrix},
e devemos encontrar todas as soluções X(t) (ou seja, a solução geral). Não há figura nem dados adicionais.]

Passo 2

Vamos buscar soluções da forma X(t)=v e^{\lambda t}, com v vetor constante (não nulo) e \lambda número (possivelmente complexo). Por que essa forma? Porque ao substituir em X'=AX obtemos
\lambda v e^{\lambda t}=A v e^{\lambda t},
e como e^{\lambda t} nunca é zero podemos cancelar, chegando ao problema de autovalores
A v = \lambda v,
ou seja, (A-\lambda I)v=0. Para existir v\neq0 precisamos de \det(A-\lambda I)=0. Essa equação em \lambda dá os autovalores; para cada autovalor não nulo encontramos um autovetor v e obtemos uma exponencial solução v e^{\lambda t}. Se os autovetores formarem base de \mathbb{R}^2, a combinação linear deles gera a solução geral.

Passo 3

Calculo do polinômio característico \det(A-\lambda I). Temos
A-\lambda I=\begin{pmatrix}12-\lambda & 1 \\[4pt] 9 & 4-\lambda\end{pmatrix},
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\det(A-\lambda I)=(12-\lambda)(4-\lambda)-9.
Expandindo,
(12-\lambda)(4-\lambda)-9 =48-12\lambda-4\lambda+\lambda^2-9 =\lambda^2-16\lambda+39.
Portanto o polinômio característico é
\lambda^2-16\lambda+39=0.]

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática \lambda^2-16\lambda+39=0. O discriminante é
\Delta=(-16)^2-4\cdot1\cdot39=256-156=100,
logo \sqrt{\Delta}=10. As raízes são
\lambda=\frac{16\pm10}{2}.
Assim obtemos os autovalores
\lambda_1=\frac{16+10}{2}=13,\qquad \lambda_2=\frac{16-10}{2}=3.
Como os autovalores são distintos, sabemos que existem dois autovetores linearmente independentes e a matriz é diagonalizável (em \mathbb{R}^2), o que garante que as duas exponenciais associadas formam uma base de soluções.

Passo 5

Encontrar autovetores.
Para \lambda_1=13 resolvemos (A-13I)v=0:
A-13I=\begin{pmatrix}12-13 & 1 \\[4pt] 9 & 4-13\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & 1 \\[4pt] 9 & -9\end{pmatrix}.
A equação (-1)x+y=0 y=x. Podemos escolher x=1, então um autovetor associado é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: A v_1=\begin{pmatrix}12+1\\[4pt]9+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\[4pt]13\end{pmatrix}=13 v_1.
Para \lambda_2=3 resolvemos (A-3I)v=0:
A-3I=\begin{pmatrix}12-3 & 1 \\[4pt] 9 & 4-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9 & 1 \\[4pt]9 & 1\end{pmatrix}.
A equação 9x+y=0 y=-9x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-9\end{pmatrix}.
Verificação: A v_2=\begin{pmatrix}12\cdot1+1\cdot(-9)\\[4pt]9\cdot1+4\cdot(-9)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\[4pt] -27\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]-9\end{pmatrix}=3 v_2.]

Passo 6

Montagem da solução geral. Como v_1 e v_2 são autovetores associados a autovalores distintos, as soluções
X_1(t)=v_1 e^{\lambda_1 t}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{13t}, \qquad X_2(t)=v_2 e^{\lambda_2 t}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-9\end{pmatrix}e^{3t}
são linearmente independentes. Pela linearidade do sistema, a combinação linear com constantes arbitrárias C_1,C_2 dá a solução geral:
X(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{13t}+C_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-9\end{pmatrix}e^{3t},
onde C_1,C_2\in\mathbb{R}. Essas constantes são ajustadas por condições iniciais, se houver.]

Resposta

X(t)=C_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}e^{13t}+C_2\begin{pmatrix}1\\[4pt]-9\end{pmatrix}e^{3t}]

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