Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}3 & 0 & 4 \\\\ 2 & 5 & 1 \\\\ 0 & 0 & 7\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais ordinárias
X'(t)=\begin{pmatrix}3 & 0 & 4 \\[4pt] 2 & 5 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 7\end{pmatrix}X(t),
onde X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\\[4pt] x_3(t)\end{pmatrix}. As informações relevantes dadas são:
\begin{cases} x_1'(t)=3x_1(t)+0\cdot x_2(t)+4x_3(t),\\[4pt] x_2'(t)=2x_1(t)+5x_2(t)+1\cdot x_3(t),\\[4pt] x_3'(t)=0\cdot x_1(t)+0\cdot x_2(t)+7x_3(t). \end{cases}
Ou seja, o sistema explícito é
\begin{cases} x_1'=3x_1+4x_3,\\[4pt] x_2'=2x_1+5x_2+x_3,\\[4pt] x_3'=7x_3. \end{cases}
Estas são todas as informações do enunciado; a resolução começará no próximo passo.]

Passo 2

Vamos analisar a terceira equação isoladamente pois ela só envolve x_3. A equação é
x_3'(t)=7x_3(t).
Aqui temos uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e homogênea com coeficiente constante. A solução geral desse tipo de equação é uma exponencial: se
y'(t)=\lambda y(t),
então
y(t)=C e^{\lambda t},
onde C é constante arbitrária. Aplicando isso com \lambda=7 obtemos
x_3(t)=C_3 e^{7t},
onde C_3 é uma constante real arbitrária. (Animação rápida: é a família de funções cuja derivada é 7 vezes a própria função — só a exponencial faz isso.)

Passo 3

Agora tratamos a primeira equação, que depende de x_1 e de x_3(t):
x_1'(t)=3x_1(t)+4x_3(t).
Vou reescrever em forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
x_1'(t)-3x_1(t)=4x_3(t).
Aqui o lado direito é uma função conhecida (porque já sabemos x_3(t)). Para resolver esse tipo de equação usamos o método do fator integrante. Vou explicar esse método rapidamente e de forma prática.

Passo 4

Explicando o fator integrante (didático): para uma equação linear de primeira ordem
y'(t)+p(t)y(t)=q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo na derivada de \mu(t)y(t). Depois integra-se e isola-se y(t). No nosso caso temos p(t)=-3, logo
\mu(t)=\exp\!\Big(\int -3\,dt\Big)=e^{-3t}.
Multiplicando a equação por e^{-3t} obtemos
e^{-3t}x_1'(t)-3e^{-3t}x_1(t)=4e^{-3t}x_3(t).
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dt}\big(e^{-3t}x_1(t)\big). Assim
\frac{d}{dt}\big(e^{-3t}x_1(t)\big)=4e^{-3t}x_3(t).

Passo 5

Substituímos x_3(t)=C_3 e^{7t} no lado direito:
\frac{d}{dt}\big(e^{-3t}x_1(t)\big)=4e^{-3t}\cdot C_3 e^{7t}=4C_3 e^{4t}.
Integramos em t:
e^{-3t}x_1(t)=\int 4C_3 e^{4t}\,dt + C_1,
onde C_1 é constante de integração. A integral é direta:
\int 4C_3 e^{4t}\,dt = 4C_3\cdot\frac{1}{4}e^{4t}=C_3 e^{4t}.
Logo
e^{-3t}x_1(t)=C_3 e^{4t}+C_1.
Multiplicando por e^{3t} temos
x_1(t)=C_3 e^{7t}+C_1 e^{3t}.
É bom ver o padrão: apareceu uma combinação de e^{7t} (vinda de x_3) e e^{3t} (modo associado ao autovalor 3).

Passo 6

Agora resolvemos a segunda equação:
x_2'(t)=2x_1(t)+5x_2(t)+x_3(t).
Reescrevendo em forma padrão:
x_2'(t)-5x_2(t)=2x_1(t)+x_3(t).
Já temos x_1(t) e x_3(t); substituímos:
x_1(t)=C_1 e^{3t}+C_3 e^{7t},\qquad x_3(t)=C_3 e^{7t}.
Portanto o lado direito fica
2x_1(t)+x_3(t)=2(C_1 e^{3t}+C_3 e^{7t})+C_3 e^{7t}=2C_1 e^{3t}+3C_3 e^{7t}.

Passo 7

Aplicamos novamente o fator integrante para a equação de x_2. Aqui p(t)=-5, então
\mu(t)=e^{\int -5\,dt}=e^{-5t}.
Multiplicando a equação por e^{-5t} obtemos
\frac{d}{dt}\big(e^{-5t}x_2(t)\big)=e^{-5t}\big(2C_1 e^{3t}+3C_3 e^{7t}\big)=2C_1 e^{-2t}+3C_3 e^{2t}.
Agora integramos:
e^{-5t}x_2(t)=\int\big(2C_1 e^{-2t}+3C_3 e^{2t}\big)\,dt + C_2,
onde C_2 é constante de integração.

Passo 8

Calculamos as integrais separadamente:
\int 2C_1 e^{-2t}\,dt = 2C_1\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2t}\big) = -C_1 e^{-2t},
\int 3C_3 e^{2t}\,dt = 3C_3\cdot\big(\tfrac{1}{2}e^{2t}\big)=\tfrac{3}{2}C_3 e^{2t}.
Portanto
e^{-5t}x_2(t) = -C_1 e^{-2t} + \tfrac{3}{2}C_3 e^{2t} + C_2.
Multiplicando por e^{5t} para isolar x_2(t):
x_2(t) = -C_1 e^{3t} + \tfrac{3}{2}C_3 e^{7t} + C_2 e^{5t}.

Passo 9

Agora reunimos as soluções obtidas para cada componente. Temos três constantes C_1,C_2,C_3\) (uma para cada grau de liberdade do sistema linear de ordem 1) e: \[\begin{cases} x_1(t)=C_1 e^{3t} + C_3 e^{7t},\\[6pt] x_2(t)=-C_1 e^{3t} + C_2 e^{5t} + \dfrac{3}{2}C_3 e^{7t},\\[8pt] x_3(t)=C_3 e^{7t}. \end{cases}
Uma forma compacta em vetor é
X(t)=C_1\begin{pmatrix}e^{3t}\\[4pt]-e^{3t}\\[4pt]0\end{pmatrix} +C_2\begin{pmatrix}0\\[4pt]e^{5t}\\[4pt]0\end{pmatrix} +C_3\begin{pmatrix}e^{7t}\\[4pt]\tfrac{3}{2}e^{7t}\\[4pt]e^{7t}\end{pmatrix}.
Isso é a solução geral do sistema, com (C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}].]

Resposta

x_1(t)=C_1 e^{3t}+C_3 e^{7t}
x_2(t)=-C_1 e^{3t}+C_2 e^{5t}+\dfrac{3}{2}C_3 e^{7t}
x_3(t)=C_3 e^{7t}

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