Estas são todas as informações do enunciado; a resolução começará no próximo passo.]
Passo 2
Vamos analisar a terceira equação isoladamente pois ela só envolve x_3. A equação é
x_3'(t)=7x_3(t).
Aqui temos uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem e homogênea com coeficiente constante. A solução geral desse tipo de equação é uma exponencial: se
y'(t)=\lambda y(t),
então
y(t)=C e^{\lambda t},
onde C é constante arbitrária. Aplicando isso com \lambda=7 obtemos
x_3(t)=C_3 e^{7t},
onde C_3 é uma constante real arbitrária. (Animação rápida: é a família de funções cuja derivada é 7 vezes a própria função — só a exponencial faz isso.)
Passo 3
Agora tratamos a primeira equação, que depende de x_1 e de x_3(t):
x_1'(t)=3x_1(t)+4x_3(t).
Vou reescrever em forma padrão para equações lineares de primeira ordem:
x_1'(t)-3x_1(t)=4x_3(t).
Aqui o lado direito é uma função conhecida (porque já sabemos x_3(t)). Para resolver esse tipo de equação usamos o método do fator integrante. Vou explicar esse método rapidamente e de forma prática.
Passo 4
Explicando o fator integrante (didático): para uma equação linear de primeira ordem
y'(t)+p(t)y(t)=q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big).
Multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo na derivada de \mu(t)y(t). Depois integra-se e isola-se y(t). No nosso caso temos p(t)=-3, logo
\mu(t)=\exp\!\Big(\int -3\,dt\Big)=e^{-3t}.
Multiplicando a equação por e^{-3t} obtemos
e^{-3t}x_1'(t)-3e^{-3t}x_1(t)=4e^{-3t}x_3(t).
O lado esquerdo é \dfrac{d}{dt}\big(e^{-3t}x_1(t)\big). Assim
Agora reunimos as soluções obtidas para cada componente. Temos três constantes C_1,C_2,C_3\) (uma para cada grau de liberdade do sistema linear de ordem 1) e:
\[\begin{cases} x_1(t)=C_1 e^{3t} + C_3 e^{7t},\\[6pt] x_2(t)=-C_1 e^{3t} + C_2 e^{5t} + \dfrac{3}{2}C_3 e^{7t},\\[8pt] x_3(t)=C_3 e^{7t}. \end{cases}