Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}6 & -1 \\\\ 5 & 2\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
X' = \begin{pmatrix}6 & -1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix} X.
Informações dadas:
A=\begin{pmatrix}6 & -1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}, \qquad X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t) \\[4pt] x_2(t)\end{pmatrix}, \qquad X'(t)=\frac{d}{dt}X(t).
O que o exercício pede: determinar a solução geral X(t) em termos de constantes arbitrárias reais.]

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os autovalores de A. Para isso calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I).
A definição que usamos: o polinômio característico é \det(A-\lambda I), cujas raízes são os autovalores \lambda. Aqui
A-\lambda I=\begin{pmatrix}6-\lambda & -1 \\[4pt] 5 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A-\lambda I)=(6-\lambda)(2-\lambda)-(-1)\cdot 5.
Desenvolvendo (vou detalhar a conta):
(6-\lambda)(2-\lambda)=12-6\lambda-2\lambda+\lambda^2=\lambda^2-8\lambda+12,
e adicionando +5 vindo do termo -(-5) temos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-8\lambda+12+5=\lambda^2-8\lambda+17.
Agora resolvemos \lambda^2-8\lambda+17=0. Usando a fórmula quadrática,
\lambda=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot1\cdot17}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64-68}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{-4}}{2}.
Assim os autovalores são complexos conjugados:
\lambda_{1,2}=4\pm i.
É importante anotar que \Re(\lambda)=4 (parte real) e \Im(\lambda)=\pm1 (parte imaginária), o que indica soluções oscilatórias multiplicadas por e^{4t}.]

Passo 3

Precisamos de um autovetor complexo correspondente a \lambda=4+i. Resolvemos (A-(4+i)I)v=0.
Computando a matriz:
A-(4+i)I=\begin{pmatrix}6-(4+i) & -1 \\[4pt] 5 & 2-(4+i)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2-i & -1 \\[4pt] 5 & -2-i\end{pmatrix}.
Seja v=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt] v_2\end{pmatrix}. A primeira linha dá
(2-i)v_1 - v_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad v_2=(2-i)v_1.
Escolhemos v_1=1 (podemos escolher qualquer escalar não nulo), então um autovetor é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2-i\end{pmatrix}.
Escrevendo v em partes real e imaginária v=p+iq, temos
p=\Re(v)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad q=\Im(v)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora vamos transformar a solução complexa em solução real. Conceito-chave: se \lambda=\alpha\pm i\beta e v=p+iq é autovetor complexo, então duas soluções reais independentes do sistema são
e^{\alpha t}\bigl(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\bigr) \quad\text{e}\quad e^{\alpha t}\bigl(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\bigr).
Breve justificativa (intuitiva): e^{(\alpha+i\beta)t}(p+iq) é solução complexa; usando identidade de Euler e^{i\beta t}=\cos\beta t + i\sin\beta t e separando parte real e imaginária obtemos duas soluções reais. Aqui \alpha=4 e \beta=1.

Passo 5

Aplicando a fórmula com p e q calculados:
p=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad \alpha=4,\\ \beta=1.
Calculamos as duas soluções básicas:
u_1(t)=e^{4t}\bigl(p\cos t - q\sin t\bigr) = e^{4t}\begin{pmatrix}1\cdot\cos t - 0\cdot\sin t \\[6pt] 2\cos t - (-1)\sin t\end{pmatrix} = e^{4t}\begin{pmatrix}\cos t \\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix},
u_2(t)=e^{4t}\bigl(p\sin t + q\cos t\bigr) = e^{4t}\begin{pmatrix}1\cdot\sin t + 0\cdot\cos t \\[6pt] 2\sin t + (-1)\cos t\end{pmatrix} = e^{4t}\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix}.]

Passo 6

A solução geral do sistema é a combinação linear das duas soluções independentes u_1 e u_2 com constantes reais C_1 e C_2:
X(t)=C_1 u_1(t)+C_2 u_2(t).
Escrevendo explicitamente as componentes,
X(t)=e^{4t}\left[ C_1\begin{pmatrix}\cos t \\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix} \right].
Podemos também escrever componente a componente:
x_1(t)=e^{4t}\bigl(C_1\cos t + C_2\sin t\bigr),
x_2(t)=e^{4t}\bigl(C_1(2\cos t+\sin t)+C_2(2\sin t-\cos t)\bigr).]

Resposta

X(t)=e^{4t}\left[ C_1\begin{pmatrix}\cos t \\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix} \right], \qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

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