É importante anotar que \Re(\lambda)=4 (parte real) e \Im(\lambda)=\pm1 (parte imaginária), o que indica soluções oscilatórias multiplicadas por e^{4t}.]
Passo 3
Precisamos de um autovetor complexo correspondente a \lambda=4+i. Resolvemos (A-(4+i)I)v=0.
Agora vamos transformar a solução complexa em solução real. Conceito-chave: se \lambda=\alpha\pm i\beta e v=p+iq é autovetor complexo, então duas soluções reais independentes do sistema são
Breve justificativa (intuitiva): e^{(\alpha+i\beta)t}(p+iq) é solução complexa; usando identidade de Euler e^{i\beta t}=\cos\beta t + i\sin\beta t e separando parte real e imaginária obtemos duas soluções reais. Aqui \alpha=4 e \beta=1.
u_1(t)=e^{4t}\bigl(p\cos t - q\sin t\bigr) = e^{4t}\begin{pmatrix}1\cdot\cos t - 0\cdot\sin t \\[6pt] 2\cos t - (-1)\sin t\end{pmatrix} = e^{4t}\begin{pmatrix}\cos t \\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix},
u_2(t)=e^{4t}\bigl(p\sin t + q\cos t\bigr) = e^{4t}\begin{pmatrix}1\cdot\sin t + 0\cdot\cos t \\[6pt] 2\sin t + (-1)\cos t\end{pmatrix} = e^{4t}\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix}.]
Passo 6
A solução geral do sistema é a combinação linear das duas soluções independentes u_1 e u_2 com constantes reais C_1 e C_2:
X(t)=C_1 u_1(t)+C_2 u_2(t).
Escrevendo explicitamente as componentes,
X(t)=e^{4t}\left[ C_1\begin{pmatrix}\cos t \\[4pt] 2\cos t + \sin t\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin t \\[4pt] 2\sin t - \cos t\end{pmatrix} \right].