Explicando cada termo: (18-\lambda)(6-\lambda) vem do produto dos elementos da diagonal e -(-4)\cdot 9 corrige pelo produto dos elementos fora da diagonal. Agora expandimos:
Escolhemos v_1=2 para evitar frações; então um autovetor próprio é
v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Observação: como o autovalor tem multiplicidade 2 mas encontramos apenas um autovetor linearmente independente, a multiplicidade geométrica é 1. Isso indica que a matriz não é diagonalizável e teremos que buscar um autovetor generalizado para formar uma base de soluções.]
Passo 4
Quando há autovalor repetido com só um autovetor, procuramos um vetor generalizado w que satisfaça
(A-12I)w = v,
onde v é o autovetor encontrado. Isso porque, para blocos de Jordan de tamanho 2, a segunda solução tem essa estrutura. Escrevemos w=\begin{pmatrix}w_1\\[4pt]w_2\end{pmatrix} e resolvemos o sistema
Conferindo: (A-12I)w=\begin{pmatrix}6\cdot1-4\cdot1\\[4pt]9\cdot1-6\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix}=v, como desejado.]
Passo 5
Agora uma pequena aula sobre por que isso nos dá a solução geral: quando temos um autovalor \lambda de multiplicidade 2 com apenas um autovetor v, as duas soluções fundamentais do sistema linear são
X_1(t)=e^{\lambda t}v \quad\text{e}\quad X_2(t)=e^{\lambda t}(t v + w),
onde w satisfaz (A-\lambda I)w=v. Vou mostrar rapidamente por que X_2 funciona (isso é importante para você poder justificar na prova). Calcule a derivada:
X_2'(t)=\lambda e^{\lambda t}(t v + w)+e^{\lambda t}v =e^{\lambda t}\big(\lambda t v + \lambda w + v\big).
Por outro lado,
A X_2(t)=e^{\lambda t}\big(A(t v + w)\big)=e^{\lambda t}\big(t A v + A w\big).
Como A v=\lambda v e A w=\lambda w + v (esta última igualdade é equivalente a (A-\lambda I)w=v), obtemos
A X_2(t)=e^{\lambda t}\big(\lambda t v + \lambda w + v\big)=X_2'(t).
Logo X_2 também é solução. Além disso X_1 e X_2 são linearmente independentes (uma envolve termo em t), então formam uma base de soluções do espaço de soluções de dimensão 2.
Passo 6
Aplicando isso ao nosso caso com \lambda=12, v=\begin{pmatrix}2\\[4pt]3\end{pmatrix} e w=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}, obtemos as duas soluções fundamentais