Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{ll}15 & 9 \\\\ 16 & 5\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem
X'(t)=A\,X(t)
onde a matriz A é dada por
A=\begin{pmatrix}15 & 9 \\[4pt] 16 & 5\end{pmatrix}.
Informações relevantes oferecidas pelo enunciado:
A_{11}=15,\quad A_{12}=9,\quad A_{21}=16,\quad A_{22}=5.
O que precisa ser encontrado: a família de soluções X(t) (dependendo de constantes arbitrárias) que satisfaça a equação para todo t.]

Passo 2

Estratégia e primeiro cálculo: procuramos os autovalores \lambda de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Isso nos dá as exponenciais \mathrm{e}^{\lambda t} que aparecem na solução.
Calculemos \det(A-\lambda I):
\det\!\big(A-\lambda I\big)=\det\!\begin{pmatrix}15-\lambda & 9 \\[4pt] 16 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
A determinante de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix} é ad-bc. Aplicando isso:
\det(A-\lambda I)=(15-\lambda)(5-\lambda)-9\cdot16.
Façamos as contas passo a passo:
(15-\lambda)(5-\lambda)=75-15\lambda-5\lambda+\lambda^2=\lambda^2-20\lambda+75,
e
9\cdot16=144.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2-20\lambda+75-144=\lambda^2-20\lambda-69.
Precisamos resolver
\lambda^2-20\lambda-69=0.]

Passo 3

Resolva a equação quadrática. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula de raízes de uma quadrática): para \lambda^2+b\lambda+c=0 as raízes são \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}. Aqui b=-20 e c=-69, ou aplicando diretamente:
Calcule o discriminante:
\Delta = (-20)^2-4\cdot1\cdot(-69)=400+276=676.
A raiz quadrada de 676 é 26 (porque 26^2=676). Assim as raízes são
\lambda=\frac{20\pm 26}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_1=\frac{20+26}{2}=23,\qquad \lambda_2=\frac{20-26}{2}=-3.

Passo 4

Agora encontramos um autovetor associado a \lambda_1=23. Precisamos resolver (A-23I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}15-23 & 9 \\[4pt] 16 & 5-23\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
o que é
\begin{pmatrix}-8 & 9 \\[4pt] 16 & -18\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá a equação (bastando uma das duas porque são proporcionais):
-8x+9y=0 \quad\Longrightarrow\quad 9y=8x \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{8}{9}x.
Escolhemos x=9 para obter inteiros simples; então y=8. Um autovetor correspondente é
v_1=\begin{pmatrix}9\\[4pt] 8\end{pmatrix}.
(Autovetores podem ser escalados por qualquer constante não nula.)]

Passo 5

Agora o autovetor para \lambda_2=-3. Resolvemos (A+3I)v=0:
\begin{pmatrix}15+3 & 9 \\[4pt] 16 & 5+3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix},
ou seja
\begin{pmatrix}18 & 9 \\[4pt] 16 & 8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha temos
18x+9y=0 \quad\Longrightarrow\quad 9y=-18x \quad\Longrightarrow\quad y=-2x.
Escolhemos x=1 para simplicidade; então y=-2. Um autovetor é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Conclusão sobre diagonalização e forma da solução: como encontramos dois autovalores distintos \lambda_1\neq\lambda_2 e autovetores linearmente independentes v_1,v_2, a matriz A é diagonalizável. Para um sistema linear autônomo X'=AX com autovalores \lambda_i e autovetores v_i, a solução geral é dada pela combinação linear
X(t)=C_1\,\mathrm{e}^{\lambda_1 t}v_1+C_2\,\mathrm{e}^{\lambda_2 t}v_2,
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias (determinadas por condições iniciais).

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
\lambda_1=23,\quad v_1=\begin{pmatrix}9\\[4pt] 8\end{pmatrix},\qquad \lambda_2=-3,\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix},
obtemos a solução geral
X(t)=C_1\,\mathrm{e}^{23t}\begin{pmatrix}9\\[4pt] 8\end{pmatrix}+C_2\,\mathrm{e}^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

Resposta

X(t)=C_{1}\,\mathrm{e}^{23t}\begin{pmatrix}9\\[4pt]8\end{pmatrix}+C_{2}\,\mathrm{e}^{-3t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}]

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