O que precisa ser encontrado: a família de soluções X(t) (dependendo de constantes arbitrárias) que satisfaça a equação para todo t.]
Passo 2
Estratégia e primeiro cálculo: procuramos os autovalores \lambda de A resolvendo o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Isso nos dá as exponenciais \mathrm{e}^{\lambda t} que aparecem na solução.
Resolva a equação quadrática. Use a fórmula de Bhaskara (fórmula de raízes de uma quadrática): para \lambda^2+b\lambda+c=0 as raízes são \lambda=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}. Aqui b=-20 e c=-69, ou aplicando diretamente:
Calcule o discriminante:
\Delta = (-20)^2-4\cdot1\cdot(-69)=400+276=676.
A raiz quadrada de 676 é 26 (porque 26^2=676). Assim as raízes são
Escolhemos x=1 para simplicidade; então y=-2. Um autovetor é
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -2\end{pmatrix}.]
Passo 6
Conclusão sobre diagonalização e forma da solução: como encontramos dois autovalores distintos \lambda_1\neq\lambda_2 e autovetores linearmente independentes v_1,v_2, a matriz A é diagonalizável. Para um sistema linear autônomo X'=AX com autovalores \lambda_i e autovetores v_i, a solução geral é dada pela combinação linear