Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 2 \\\\ 1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 4\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO
X'(t)=\begin{pmatrix}4 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 4 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 4\end{pmatrix}X(t).
As informações dadas são:
A=\begin{pmatrix}4 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 4 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 4\end{pmatrix}, \qquad X(t)=\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt] x_2(t)\\[4pt] x_3(t)\end{pmatrix},
e a tarefa é encontrar a forma geral de X(t) (a família de todas as soluções, com constantes arbitrárias).]

Passo 2

Vamos começar observando que a matriz A pode ser escrita como
A=4I+M,
onde I é a identidade 3\times3 e
M=A-4I=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Explicação didática rápida: escrever A como 4I+M é útil porque a exponencial de matriz satisfaz e^{At}=e^{4t}e^{Mt} quando 4I e M comutam (aqui comutam trivialmente porque 4I comuta com qualquer matriz). A solução geral do sistema linear autônomo é X(t)=e^{At}C, com C vetor constante arbitrário. Portanto precisamos calcular e^{At}.]

Passo 3

Calculemos potências de M. Primeiro M já temos. Agora
M^2=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\[4pt] 1 & 0 & 3 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}^2 =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Mostro como obter uma linha para fixar a intuição: a entrada (2,3) de M^2 vem do produto da linha 2 de M com a coluna 3 de M: 1\cdot 2 + 0\cdot 3 + 3\cdot 0 = 2. Finalmente
M^3= M^2 M = 0,
porque ao multiplicar M^2 pela estrutura de M todas as colunas resultam em zero. Conclusão importante: M é nilpotente de ordem 3 (isto é, M^3=0).]

Passo 4

Como M^3=0, a série da exponencial de M termina:
e^{Mt}=I + Mt + \frac{(Mt)^2}{2!}.
Agora substituímos M e M^2. Primeiro escrevendo I + tM:
I+tM=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2t \\[4pt] t & 1 & 3t \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
E o termo com M^2:
\frac{t^2}{2}M^2=\frac{t^2}{2}\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & t^2 \\[4pt] 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Somando os termos obtemos
e^{Mt}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 2t \\[4pt] t & 1 & 3t+t^2 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Portanto a exponencial pedida é
e^{At}=e^{4t}e^{Mt}=e^{4t}\begin{pmatrix}1 & 0 & 2t \\[4pt] t & 1 & 3t+t^2 \\[4pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

A solução geral do sistema é X(t)=e^{At}C, com C constante arbitrária. Se escrevemos C=\begin{pmatrix}C_1\\[4pt] C_2\\[4pt] C_3\end{pmatrix}, multiplicando a matriz exponencial pelo vetor constante obtemos componente a componente:
x_1(t)=e^{4t}\big(C_1 + 2t\,C_3\big),
x_2(t)=e^{4t}\big(t\,C_1 + C_2 + (3t+t^2)C_3\big),
x_3(t)=e^{4t}\,C_3.
Comentário útil: os C_i são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais (se houver). Note que x_3 satisfaz x_3'=4x_3 isoladamente (é fácil ver pelo sistema), e as outras componentes têm termos polinomiais em t multiplicando e^{4t} por causa da parte nilpotente M.]

Passo 6

Verificação rápida (sanity check) em uma componente: usando x_3(t)=e^{4t}C_3 obtemos x_3'(t)=4e^{4t}C_3=4x_3(t), que coincide com a terceira equação do sistema. Isso reforça que a forma encontrada é consistente. Para verificar totalmente, poderia-se derivar x_1, x_2 e confirmar que satisfazem as duas primeiras linhas do sistema — o cálculo se fecha devido à construção via e^{At}.

Resposta

x_1(t)=e^{4t}\big(C_1 + 2t\,C_3\big)
x_2(t)=e^{4t}\big(t\,C_1 + C_2 + (3t+t^2)C_3\big)
x_3(t)=e^{4t}\,C_3

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