Explicação didática rápida: escrever A como 4I+M é útil porque a exponencial de matriz satisfaz e^{At}=e^{4t}e^{Mt} quando 4I e M comutam (aqui comutam trivialmente porque 4I comuta com qualquer matriz). A solução geral do sistema linear autônomo é X(t)=e^{At}C, com C vetor constante arbitrário. Portanto precisamos calcular e^{At}.]
Passo 3
Calculemos potências de M. Primeiro M já temos. Agora
Mostro como obter uma linha para fixar a intuição: a entrada (2,3) de M^2 vem do produto da linha 2 de M com a coluna 3 de M: 1\cdot 2 + 0\cdot 3 + 3\cdot 0 = 2. Finalmente
M^3= M^2 M = 0,
porque ao multiplicar M^2 pela estrutura de M todas as colunas resultam em zero. Conclusão importante: M é nilpotente de ordem 3 (isto é, M^3=0).]
Passo 4
Como M^3=0, a série da exponencial de M termina:
e^{Mt}=I + Mt + \frac{(Mt)^2}{2!}.
Agora substituímos M e M^2. Primeiro escrevendo I + tM:
A solução geral do sistema é X(t)=e^{At}C, com C constante arbitrária. Se escrevemos C=\begin{pmatrix}C_1\\[4pt] C_2\\[4pt] C_3\end{pmatrix}, multiplicando a matriz exponencial pelo vetor constante obtemos componente a componente:
Comentário útil: os C_i são constantes arbitrárias que serão fixadas por condições iniciais (se houver). Note que x_3 satisfaz x_3'=4x_3 isoladamente (é fácil ver pelo sistema), e as outras componentes têm termos polinomiais em t multiplicando e^{4t} por causa da parte nilpotente M.]
Passo 6
Verificação rápida (sanity check) em uma componente: usando x_3(t)=e^{4t}C_3 obtemos x_3'(t)=4e^{4t}C_3=4x_3(t), que coincide com a terceira equação do sistema. Isso reforça que a forma encontrada é consistente. Para verificar totalmente, poderia-se derivar x_1, x_2 e confirmar que satisfazem as duas primeiras linhas do sistema — o cálculo se fecha devido à construção via e^{At}.