Resolva os sistemas de EDO obtendo a solução geral:
X^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}9 & 6 \\\\ -2 & 3\end{array}\right) X

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de equações diferenciais ordinárias e pede a solução geral:
X' = \begin{pmatrix}9 & 6 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix} X.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix}9 & 6 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix},
e a incógnita é X(t)\in\mathbb{R}^2. A tarefa é encontrar a solução geral real X(t) do sistema.]

Passo 2

Vamos calcular os autovalores (valores próprios) de A através do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0. Escrevendo:
\det\big(A-\lambda I\big)=\det\begin{pmatrix}9-\lambda & 6 \\[4pt] -2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Calculamos o determinante:
\det\big(A-\lambda I\big)=(9-\lambda)(3-\lambda)-6\cdot(-2).
Desenvolvendo:
(9-\lambda)(3-\lambda)-6\cdot(-2)=27-12\lambda+\lambda^2+12=\lambda^2-12\lambda+39.]

Passo 3

Os autovalores são as raízes de
\lambda^2-12\lambda+39=0.
Usando a fórmula quadrática:
\lambda=\frac{12\pm\sqrt{12^2-4\cdot1\cdot39}}{2}=\frac{12\pm\sqrt{144-156}}{2}=\frac{12\pm\sqrt{-12}}{2}.
Como \sqrt{-12}=2i\sqrt{3}, obtemos
\lambda=6\pm i\sqrt{3}.
Portanto os autovalores vêm em par conjugado complexo: \lambda_{1}=6+i\sqrt{3} e \lambda_{2}=6-i\sqrt{3}.

Passo 4

Escolhemos o autovalor \lambda=6+i\sqrt{3} e calculamos um autovetor complexo v resolvendo (A-\lambda I)v=0. Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}9-(6+i\sqrt{3}) & 6 \\[4pt] -2 & 3-(6+i\sqrt{3})\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3-i\sqrt{3} & 6 \\[4pt] -2 & -3-i\sqrt{3}\end{pmatrix}.
A equação (A-\lambda I)v=0 dá, para v=(v_1,v_2)^T,
(3-i\sqrt{3})v_1+6v_2=0.
Isolando v_2:
v_2=-\frac{3-i\sqrt{3}}{6}v_1.
Para evitar frações escolhemos v_1=6. Então
v_2=-(3-i\sqrt{3})=-3+i\sqrt{3}.
Um autovetor correspondente é
v=\begin{pmatrix}6 \\[4pt] -3+i\sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Separamos o autovetor complexo v em parte real p e imaginária q:
v=p+iq,
onde
p=\begin{pmatrix}6 \\[4pt] -3\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0 \\[4pt] \sqrt{3}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Explico a fórmula que usamos: se A tem um autovalor complexo \lambda=\alpha+i\beta com autovetor v=p+iq (com p,q\in\mathbb{R}^n), então duas soluções reais independentes do sistema X'=AX são
\Phi_1(t)=e^{\alpha t}\big(p\cos(\beta t)-q\sin(\beta t)\big),
\Phi_2(t)=e^{\alpha t}\big(p\sin(\beta t)+q\cos(\beta t)\big).
A solução geral real é combinação linear destas com constantes reais. Essa fórmula vem ao escrever e^{\lambda t}v=e^{\alpha t}(\cos\beta t + i\sin\beta t)(p+iq) e separar partes real e imaginária.

Passo 7

Aqui \alpha=6 e \beta=\sqrt{3}, com p e q obtidos acima. Calculamos explicitamente \Phi_1(t) e \Phi_2(t):
Para \Phi_1(t):
\Phi_1(t)=e^{6t}\Big(\begin{pmatrix}6 \\[4pt] -3\end{pmatrix}\cos(\sqrt{3}t)-\begin{pmatrix}0 \\[4pt] \sqrt{3}\end{pmatrix}\sin(\sqrt{3}t)\Big) = e^{6t}\begin{pmatrix}6\cos(\sqrt{3}t) \\[6pt] -3\cos(\sqrt{3}t)-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t)\end{pmatrix}.
Para \Phi_2(t):
\Phi_2(t)=e^{6t}\Big(\begin{pmatrix}6 \\[4pt] -3\end{pmatrix}\sin(\sqrt{3}t)+\begin{pmatrix}0 \\[4pt] \sqrt{3}\end{pmatrix}\cos(\sqrt{3}t)\Big) = e^{6t}\begin{pmatrix}6\sin(\sqrt{3}t) \\[6pt] -3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\end{pmatrix}.]

Passo 8

Portanto a solução geral real do sistema é combinação linear das duas soluções acima com constantes reais C_1 e C_2:
X(t)=C_1\Phi_1(t)+C_2\Phi_2(t),
onde C_1,C_2\in\mathbb{R}.

Resposta

X(t)=C_1 e^{6t}\begin{pmatrix}6\cos(\sqrt{3}t) \\[6pt] -3\cos(\sqrt{3}t)-\sqrt{3}\sin(\sqrt{3}t)\end{pmatrix} + C_2 e^{6t}\begin{pmatrix}6\sin(\sqrt{3}t) \\[6pt] -3\sin(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\cos(\sqrt{3}t)\end{pmatrix},
com C_1,C_2\in\mathbb{R}.]

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