Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Temos o sistema de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes:
O conteúdo envolvido é a resolução de sistemas de EDO lineares usando modos normais (autovalores e autovetores).
Passo 2
Definimos o vetor de incógnitas
. Então podemos escrever o sistema na forma matricial:
Passo 3
Propondo a solução do tipo
u(t)=ve^rt , substituindo no sistema obtemos:
Para existir solução não trivial, precisamos de determinante zero.
Passo 4
Calculamos o determinante:
Igualando a zero:
Passo 5
Definindo
z = r^2 , obtemos a equação quadrática:
cuja solução é
z = -1 ou
z = -6 . Portanto os autovalores são
r = pm i e
r = pm iraiz6 .
Passo 6
Encontramos os autovetores para cada caso:
Parar^2 = -1 :
Para
logo escolhemos
v^(1)=(1,2) .
Parar^2 = -6 :
Para
logo escolhemos
v^(2) = (-2,1) .
Passo 7
Com esses autovetores, a solução geral em forma matricial é: