Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Temos o sistema de equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes constantes:
(D^2+5)x - 2y = 0, -2x + (D^2+2)y = 0
O conteúdo envolvido é a resolução de sistemas de EDO lineares usando modos normais (autovalores e autovetores).

Passo 2

Definimos o vetor de incógnitas u(t)=(x(t),y(t))^T. Então podemos escrever o sistema na forma matricial:
u'' + Au = 0, A = 5 & -2 -2 & 2

Passo 3

Propondo a solução do tipo u(t)=ve^rt, substituindo no sistema obtemos:
(r^2+5)X - 2Y = 0, -2X + (r^2+2)Y = 0
Para existir solução não trivial, precisamos de determinante zero.

Passo 4

Calculamos o determinante:
detr^2+5 & -2 -2 & r^2+2 = (r^2+5)(r^2+2) - 4 = r^4 + 7r^2 + 6
Igualando a zero:
r^4 + 7r^2 + 6 = 0

Passo 5

Definindo z = r^2, obtemos a equação quadrática:
z^2 + 7z + 6 = 0,
cuja solução é z = -1 ou z = -6. Portanto os autovalores são r = pm i e r = pm iraiz6.

Passo 6

Encontramos os autovetores para cada caso:
Para r^2 = -1:
4X - 2Y = 0 implies Y = 2X,
logo escolhemos v^(1)=(1,2).
Para r^2 = -6:
(-1)X - 2Y = 0 implies X = -2Y,
logo escolhemos v^(2) = (-2,1).

Passo 7

Com esses autovetores, a solução geral em forma matricial é:
u(t) = C1cos t2cos t + C2sin t2sin t + C3-2cos(raiz6t)cos(raiz6t) + C4-2sin(raiz6t)sin(raiz6t)

Resposta

x(t) = C1cos t + C2sin t - 2C3cos(raiz6t) - 2C4sin(raiz6t),
y(t) = 2C1cos t + 2C2sin t + C3cos(raiz6t) + C4sin(raiz6t)

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