Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o sistema de equações diferenciais lineares
2D x + (D-1)y = 0 D x + D y = 0
Onde D significa derivada em relação a t. Vamos usar eliminação de variáveis através de relações entre x' e y'.

Passo 2

Da segunda equação D x + D y = 0 obtemos
x' + y' = 0
Logo
y' = -x'
Vamos substituir essa relação na primeira equação.

Passo 3

A primeira equação é
2x' + (y' - y) = 0
Substituindo y' = -x', fica
2x' + (-x') - y = 0 implies x' - y = 0 implies y = x'
Então y' = x''.

Passo 4

Agora voltamos à segunda equação, que em termos de derivadas é
x' + y' = 0
Substituindo y' = x'' temos
x' + x'' = 0 iff x'' + x' = 0
Essa é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. O polinômio característico é
r^2 + r = 0 implies r(r+1)=0 implies r = 0, -1
Portanto a solução geral para x(t) é
x(t) = C1 + C2 e^-t

Passo 5

Para obter y(t), usamos a relação y = x'. Derivando x(t) temos
y(t) = x'(t) = 0 - C2 e^-t = -C2 e^-t

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = C1 + C2 e^-t,
y(t) = -C2 e^-t,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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