Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede resolver o sistema de EDOs lineares de primeira ordem para as funções
e
. Esse conteúdo cai na disciplina de sistemas de equações diferenciais, e vamos usar o método de eliminação para isolar uma única EDO para
.
Passo 2
Subtraindo a segunda equação da primeira, a gente elimina
. Daí temos:
que simplifica para
Passo 3
Agora ficou uma EDO linear em
:
. Para resolver, usamos o fator integrante
. Multiplicando tudo por
e reconhecendo a derivada do produto, temos:
Integrando,
logo
Passo 4
Com
em mãos, voltamos à segunda equação original, que dá
Como
substituímos e obtemos
Integrando,
Passo 5
Pronto! Encontramos
e
em função das constantes de integração
e
.
Resposta
x(t) = \frac{4}{3}e^t + C_1e^{4t},\quad y(t) = 5e^t - \frac{3}{4}C_1e^{4t} + C_2