Resolva os sistemas de equações diferenciais abaixo.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema de EDOs lineares de primeira ordem para as funções x(t) e y(t). Esse conteúdo cai na disciplina de sistemas de equações diferenciais, e vamos usar o método de eliminação para isolar uma única EDO para x(t).

Passo 2

Subtraindo a segunda equação da primeira, a gente elimina y'. Daí temos:
(2x' + y' -5x) - (x' + y' - x) = e^t - 5e^t
que simplifica para
x' - 4x = -4e^t

Passo 3

Agora ficou uma EDO linear em x: x' - 4x = -4e^t. Para resolver, usamos o fator integrante mu(t)=e^-4t. Multiplicando tudo por mu(t) e reconhecendo a derivada do produto, temos:
ddtl(xe^-4tr)= -4e^t e^-4t = -4e^-3t
Integrando,
x e^-4t = integral -4e^-3t,dt = 43e^-3t + C1,
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x(t) = 43e^t + C1 e^4t

Passo 4

Com x(t) em mãos, voltamos à segunda equação original, que dá
y' = 5e^t - x' + x
Como
x = 43e^t + C1e^4t,
x' = 43e^t + 4C1e^4t,
substituímos e obtemos
y' = 5e^t - l(tfrac43e^t + 4C1e^4tr) + l(tfrac43e^t + C1e^4tr) = 5e^t - 3C1e^4t
Integrando,
y(t) = integral(5e^t - 3C1e^4t),dt = 5e^t - 34C1e^4t + C2

Passo 5

Pronto! Encontramos x(t) e y(t) em função das constantes de integração C1 e C2.

Resposta

x(t) = \frac{4}{3}e^t + C_1e^{4t},\quad y(t) = 5e^t - \frac{3}{4}C_1e^{4t} + C_2

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