Derivada: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f(0) é conhecido, então
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0).
Isto permite transformar equações diferenciais em equações algébricas em s.
Transformada de constantes: \mathcal{L}\{1\}=\dfrac{1}{s}.
Inversão simples: \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-a}\}=e^{at}.
Vamos aplicar a transformada a cada equação. Como x(0)=y(0)=0, as fórmulas para derivadas simplificam para \mathcal{L}\{x'\}=sX(s) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s), onde X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
portanto as condições iniciais são satisfeitas. (Se for preciso, pode-se derivar x(t),y(t) e substituir nas equações originais para verificar que as equações são satisfeitas; omite-se aqui por extensão, mas a construção por Laplace garante a solução.)