Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método da transformada de Laplace. \left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-x+y \\\ \frac{d y}{d t}=2 x \\\ x(0)=0, y(0)=1\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais lineares com condições iniciais e pede a solução (usando transformada de Laplace):
Transformada da derivada (essencial para EDOs com C.I.):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f(0) é a condição inicial.
Transformada inversa básica: \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at} para t\ge0.
Vamos chamar X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usaremos as fórmulas acima para transformar o sistema em um sistema algébrico em X(s),Y(s).
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace na primeira equação \dfrac{d x}{d t}=-x+y.
Usando \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0) e linearidade:
\mathcal{L}\{x'(t)\}= \mathcal{L}\{-x(t)+y(t)\}
sX(s)-x(0) = -X(s)+Y(s).
Substituindo x(0)=0:
sX(s) = -X(s)+Y(s).
Rearranjando:
(s+1)X(s)=Y(s).
Esta é a relação (A) entre X(s) e Y(s).
Passo 4
Aplicar a transformada de Laplace na segunda equação \dfrac{d y}{d t}=2x.
Usando \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0):
sY(s)-y(0)=2X(s).
Substituindo y(0)=1:
sY(s)-1=2X(s).
Esta é a relação (B) entre X(s) e Y(s).
Passo 5
Resolver o sistema algébrico em X(s),Y(s). Da relação (A) temos Y(s)=(s+1)X(s). Substituir em (B):
s\bigl((s+1)X(s)\bigr)-1=2X(s).
Expandindo:
\bigl(s(s+1)\bigr)X(s)-1=2X(s).
Passar todos os termos com X(s) para um lado:
\bigl(s(s+1)-2\bigr)X(s)=1.
Calcular o polinômio:
s(s+1)-2 = s^{2}+s-2.
Fatorando:
s^{2}+s-2=(s-1)(s+2).
Logo
X(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s+2)}.
Então, usando Y(s)=(s+1)X(s),
Y(s)=\dfrac{s+1}{(s-1)(s+2)}.
Passo 6
Encontrar x(t) invertendo X(s). Primeiro fazemos frações parciais de
Verificação rápida (confirmação de C.I.): em t=0 temos x(0)=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}=0 e y(0)=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=1, que batem com as condições iniciais fornecidas.