Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método da transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-x+y \\\ \frac{d y}{d t}=2 x \\\ x(0)=0, y(0)=1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de equações diferenciais lineares com condições iniciais e pede a solução (usando transformada de Laplace):
\left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=-x+y,\\[4pt] \frac{d y}{d t}=2x,\\[4pt] x(0)=0,\; y(0)=1. \end{array}\right.
Informações relevantes dadas:
  • Duas equações diferenciais acopladas de primeira ordem para x(t) e y(t).
  • Condições iniciais x(0)=0 e y(0)=1.
  • Objetivo: encontrar x(t) e y(t) para t\ge0.]

Passo 2

Rápida aula sobre a transformada de Laplace e propriedades que vamos usar.
Definição (intuição curta): a transformada de Laplace converte funções de tempo f(t) em funções de complexa F(s) por
\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Propriedades úteis (que usaremos):
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=aF(s)+bG(s).
  • Transformada da derivada (essencial para EDOs com C.I.):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),
onde F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e f(0) é a condição inicial.
  • Transformada inversa básica: \mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{at} para t\ge0.
Vamos chamar X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}. Usaremos as fórmulas acima para transformar o sistema em um sistema algébrico em X(s),Y(s).

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace na primeira equação \dfrac{d x}{d t}=-x+y.
Usando \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0) e linearidade:
\mathcal{L}\{x'(t)\}= \mathcal{L}\{-x(t)+y(t)\}
sX(s)-x(0) = -X(s)+Y(s).
Substituindo x(0)=0:
sX(s) = -X(s)+Y(s).
Rearranjando:
(s+1)X(s)=Y(s).
Esta é a relação (A) entre X(s) e Y(s).

Passo 4

Aplicar a transformada de Laplace na segunda equação \dfrac{d y}{d t}=2x.
Usando \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0):
sY(s)-y(0)=2X(s).
Substituindo y(0)=1:
sY(s)-1=2X(s).
Esta é a relação (B) entre X(s) e Y(s).

Passo 5

Resolver o sistema algébrico em X(s),Y(s). Da relação (A) temos Y(s)=(s+1)X(s). Substituir em (B):
s\bigl((s+1)X(s)\bigr)-1=2X(s).
Expandindo:
\bigl(s(s+1)\bigr)X(s)-1=2X(s).
Passar todos os termos com X(s) para um lado:
\bigl(s(s+1)-2\bigr)X(s)=1.
Calcular o polinômio:
s(s+1)-2 = s^{2}+s-2.
Fatorando:
s^{2}+s-2=(s-1)(s+2).
Logo
X(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s+2)}.
Então, usando Y(s)=(s+1)X(s),
Y(s)=\dfrac{s+1}{(s-1)(s+2)}.

Passo 6

Encontrar x(t) invertendo X(s). Primeiro fazemos frações parciais de
X(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s+2)}.
Procuramos A e B tais que
\dfrac{1}{(s-1)(s+2)}=\dfrac{A}{s-1}+\dfrac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s+2):
1 = A(s+2)+B(s-1).
Determinar A e B por valores convenientes:
  • Para s=1: 1 = A(3) então A=\dfrac{1}{3}.
  • Para s=-2: 1 = B(-3) então B=-\dfrac{1}{3}.
    Portanto
X(s)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s-1}-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s+2}.

Passo 7

Aplicar a transformada inversa (saber que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}) para obter x(t):
x(t)=\dfrac{1}{3}e^{t}-\dfrac{1}{3}e^{-2t}.
Explicando: cada termo \dfrac{1}{s-1} vira e^{1\cdot t}=e^{t} e \dfrac{1}{s+2}=\dfrac{1}{s-(-2)} vira e^{-2t}. Os coeficientes mantêm-se.

Passo 8

Agora inverter Y(s). Primeiro frações parciais de
Y(s)=\dfrac{s+1}{(s-1)(s+2)}.
Procuramos C,D tais que
\dfrac{s+1}{(s-1)(s+2)}=\dfrac{C}{s-1}+\dfrac{D}{s+2}.
Multiplicando:
s+1 = C(s+2)+D(s-1).
Determinar C e D:
  • Para s=1: 2 = C(3) então C=\dfrac{2}{3}.
  • Para s=-2: -1 = D(-3) então D=\dfrac{1}{3}.
    Portanto
Y(s)=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{s-1}+\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{s+2}.

Passo 9

Aplicar a transformada inversa para obter y(t):
y(t)=\dfrac{2}{3}e^{t}+\dfrac{1}{3}e^{-2t}.
Verificação rápida (confirmação de C.I.): em t=0 temos x(0)=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}=0 e y(0)=\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3}=1, que batem com as condições iniciais fornecidas.

Resposta

x(t)=\dfrac{1}{3}e^{t}-\dfrac{1}{3}e^{-2t}\n
y(t)=\dfrac{2}{3}e^{t}+\dfrac{1}{3}e^{-2t}

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