Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores: \left\{\begin{aligned}\left(D^{2}+5\right) x-2 y & =0 \\\\ -2 x+\left(D^{2}+2\right) y & =0\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes
\begin{cases} \left(D^{2}+5\right) x - 2 y = 0,\\[4pt] -2 x + \left(D^{2}+2\right) y = 0, \end{cases}
onde D é o operador derivada em relação ao tempo (ou variável independente) — isto é, D x = x', D^{2}x = x''. O que se pede é encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem esse sistema. Todas as informações relevantes estão no próprio sistema: são duas equações lineares homogeneias e constantes em termos do operador D.]
Passo 2
Vou usar o método de operadores por eliminação. A ideia é tratar D como uma “variável algébrica” e manipular operadores polinomiais. Para facilitar, defino os operadores
L_{1} = D^{2}+5,\qquad L_{2}=D^{2}+2.
As equações ficam
L_{1}x - 2y = 0,\qquad -2x + L_{2}y = 0.
Observação importante (didática): como L_{1} e L_{2} são polinômios em D, eles comutam entre si (ou seja, L_{1}L_{2}=L_{2}L_{1}). Isso permite multiplicar e reordenar livremente ao eliminar incógnitas.
Passo 3
Elimino y a partir da primeira equação. Da primeira equação temos
y = \tfrac{1}{2}L_{1}x.
Substituo essa expressão para y na segunda equação:
-2x + L_{2}\Big(\tfrac{1}{2}L_{1}x\Big)=0.
Multiplicando por 2 para eliminar a fração:
-4x + L_{2}L_{1}x = 0,
ou seja
\big(L_{2}L_{1}-4\big)x = 0.
Passo 4
Calculo L_{2}L_{1}. Como são polinômios em D,
L_{2}L_{1} =(D^{2}+2)(D^{2}+5).
Faço a expansão (multiplicação de polinômios):
(D^{2}+2)(D^{2}+5)=D^{4}+7D^{2}+10.
Assim
L_{2}L_{1}-4 = D^{4}+7D^{2}+6.
Portanto a equação eliminada para x é
\big(D^{4}+7D^{2}+6\big)x = 0.
Passo 5
Para resolver \big(D^{4}+7D^{2}+6\big)x=0 usamos a técnica padrão: associar o polinômio característico. Substituímos D por r (número complexo) e obtemos a equação característica
r^{4}+7r^{2}+6=0.
Para facilitar, faça z=r^{2}. Assim obtemos a quadrática
z^{2}+7z+6=0.
Fatorando,
z^{2}+7z+6=(z+1)(z+6)=0,
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z=-1\quad\text{ou}\quad z=-6.
Passo 6
Voltando para r com z=r^{2}, obtemos os quatro valores de r:
Explicação didática: raízes complexas conjugadas \pm i\omega geram soluções reais \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Aqui \omega=1 para as primeiras raízes e \omega=\sqrt{6} para as segundas.
Passo 7
Escrevo a solução geral real de x(t) como combinação linear das soluções independentes correspondentes:
x(t)=A\cos t + B\sin t + C\cos(\sqrt{6}\,t) + D\sin(\sqrt{6}\,t),
onde A,B,C,D são constantes arbitrárias (determinação pelas condições iniciais, se existirem). Aqui explicito: cada termo vem de uma raiz r do polinômio característico, transformada em funções reais.
Passo 8
Agora obtenho y(t) a partir da relação que já usei: y=\tfrac{1}{2}L_{1}x=\tfrac{1}{2}(D^{2}+5)x. Vou aplicar o operador (D^{2}+5) em cada termo de x(t). Lembrete prático: D^{2} aplicada em \cos(\omega t) ou \sin(\omega t) produz -\omega^{2} vezes a própria função:
Para \cos t (\omega=1): (D^{2}+5)\cos t = (-1+5)\cos t = 4\cos t.
Para \sin t: (D^{2}+5)\sin t = (-1+5)\sin t = 4\sin t.
Para \cos(\sqrt{6}\,t) (\omega=\sqrt{6}): D^{2} dá -6, então (D^{2}+5)\cos(\sqrt{6}\,t)=(-6+5)\cos(\sqrt{6}\,t)=-1\cos(\sqrt{6}\,t).
Para \sin(\sqrt{6}\,t): (D^{2}+5)\sin(\sqrt{6}\,t)= -1\sin(\sqrt{6}\,t).
Passo 9
Multiplico por \tfrac{1}{2} (lembrando que y=\tfrac{1}{2}(D^{2}+5)x). Assim cada termo resulta:
y(t)=\tfrac{1}{2}\big(4A\cos t + 4B\sin t - C\cos(\sqrt{6}\,t) - D\sin(\sqrt{6}\,t)\big).
Simplificando os coeficientes:
y(t)=2A\cos t + 2B\sin t -\tfrac{1}{2}C\cos(\sqrt{6}\,t) -\tfrac{1}{2}D\sin(\sqrt{6}\,t).
Resposta
x(t)=A\cos t + B\sin t + C\cos(\sqrt{6}\,t) + D\sin(\sqrt{6}\,t)\ y(t)=2A\cos t + 2B\sin t -\tfrac{1}{2}C\cos(\sqrt{6}\,t) -\tfrac{1}{2}D\sin(\sqrt{6}\,t)