Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
e pede encontrar as funções
e
que satisfazem esse sistema.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- São duas equações diferenciais ordinárias acopladas de primeira ordem.
- Não há condições iniciais dadas, logo devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
- O sistema é linear com termos não homogêneos dependentes de
(temos o termo em ambas equações).]
Passo 2
Vou usar o método dos operadores: defino o operador
como
. Esse método transforma equações diferenciais em expressões com
, facilitando eliminar uma incógnita e obter uma equação para a outra variável. Reescrevendo as equações com
:
Aqui eu expliquei:
e
são funções de
;
significa a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos eliminar
para obter uma única equação para
. Da primeira equação temos explicitamente
Agora diferenciamos essa expressão ou substituímos em
. Substituindo direto:
Calcule
: a derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto
Reorganizando os termos para isolar as derivadas:
Em notação habitual isso é
Explicação da etapa: ao eliminar
transformamos o sistema acoplado em uma equação de segunda ordem em
, que é linear com termo não homogêneo polinomial
.
Passo 4
Resolvo a equação linear de segunda ordem
Primeiro encontro a solução homogênea resolvendo
A equação característica (para constantes complexas
) é
, cujas raízes são
. Logo a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Aqui expliquei: as combinações
e
aparecem porque a solução da equação com raízes imaginárias produz funções trigonométricas.
Passo 5
Agora preciso de uma solução particular
para a equação completa. O termo força (lado direito) é
, um polinômio de grau
. Experimentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
onde
e
são constantes a determinar. Calculo as derivadas:
Substituindo em
:
Comparando coeficientes dos polinômios (igualando termos em
e termos constantes) obtemos
Portanto
Observação: não houve conflito com a solução homogênea porque
não é solução da homogênea (a homogênea é trigonométrica).
Passo 6
A solução geral para
é a soma da homogênea com a particular:
Aqui
e
são constantes reais arbitrárias que serão fixadas apenas se houver condições iniciais.
Passo 7
Agora encontro
usando a relação que obtivemos antes:
Calculo
. Derivando a expressão de
:
Substituo em
:
Distribuindo o sinal e simplificando:
Então a solução geral do sistema é
Passo 8
Comentário final rápido para te animar: a técnica básica foi eliminar uma variável transformando o sistema em uma equação de segunda ordem, resolver a homogênea (raízes complexas → seno e cosseno) e achar uma particular por tentativa. Esse padrão aparece muito em prova — praticando mais alguns exemplos com termos forçantes polinomiais, exponenciais ou trigonométricos você pega o jeito rápido. Vamos com tudo, você consegue!