Resolva os sistemas de equações diferenciais pelo método de operadores:
\left\{\begin{array}{l}\frac{d x}{d t}=-y+t \\\ \frac{d y}{d t}=x-t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
\begin{cases} \frac{dx}{dt} = -y + t,\\[4pt] \frac{dy}{dt} = x - t, \end{cases}
e pede encontrar as funções x(t) e y(t) que satisfazem esse sistema.
Informações relevantes fornecidas:
  • São duas equações diferenciais ordinárias acopladas de primeira ordem.
  • Não há condições iniciais dadas, logo devemos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
  • O sistema é linear com termos não homogêneos dependentes de t (temos o termo t em ambas equações).]

Passo 2

Vou usar o método dos operadores: defino o operador D como D=\dfrac{d}{dt}. Esse método transforma equações diferenciais em expressões com D, facilitando eliminar uma incógnita e obter uma equação para a outra variável. Reescrevendo as equações com D:
D x = -y + t \quad\Longrightarrow\quad D x + y = t,
D y = x - t \quad\Longrightarrow\quad D y - x = -t.
Aqui eu expliquei: x e y são funções de t; D x significa a derivada de x em relação a t.

Passo 3

Vamos eliminar y para obter uma única equação para x. Da primeira equação temos explicitamente
y = t - D x.
Agora diferenciamos essa expressão ou substituímos em D y - x = -t. Substituindo direto:
D y - x = -t \quad\Rightarrow\quad D(t - D x) - x = -t.
Calcule D(t - D x): a derivada de t é 1 e a derivada de -D x é -D^2 x. Portanto
1 - D^2 x - x = -t.
Reorganizando os termos para isolar as derivadas:
-D^2 x - x = -t - 1 \quad\Longrightarrow\quad D^2 x + x = t + 1.
Em notação habitual isso é
x''(t) + x(t) = t + 1.
Explicação da etapa: ao eliminar y transformamos o sistema acoplado em uma equação de segunda ordem em x, que é linear com termo não homogêneo polinomial t+1.

Passo 4

Resolvo a equação linear de segunda ordem
x'' + x = t + 1.
Primeiro encontro a solução homogênea resolvendo
x'' + x = 0.
A equação característica (para constantes complexas r) é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r=\pm i. Logo a solução geral homogênea é
x_h(t) = C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui expliquei: as combinações \cos t e \sin t aparecem porque a solução da equação com raízes imaginárias produz funções trigonométricas.

Passo 5

Agora preciso de uma solução particular x_p(t) para a equação completa. O termo força (lado direito) é t+1, um polinômio de grau 1. Experimentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau:
x_p(t) = a t + b,
onde a e b são constantes a determinar. Calculo as derivadas:
x_p'(t) = a,\qquad x_p''(t) = 0.
Substituindo em x'' + x = t + 1:
0 + (a t + b) = t + 1.
Comparando coeficientes dos polinômios (igualando termos em t e termos constantes) obtemos
a = 1,\qquad b = 1.
Portanto
x_p(t) = t + 1.
Observação: não houve conflito com a solução homogênea porque t+1 não é solução da homogênea (a homogênea é trigonométrica).

Passo 6

A solução geral para x(t) é a soma da homogênea com a particular:
x(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + t + 1.
Aqui C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias que serão fixadas apenas se houver condições iniciais.

Passo 7

Agora encontro y(t) usando a relação que obtivemos antes:
y = t - D x.
Calculo D x = x'(t). Derivando a expressão de x(t):
x'(t) = -C_1\sin t + C_2\cos t + 1.
Substituo em y = t - x':
y(t) = t - \bigl(-C_1\sin t + C_2\cos t + 1\bigr).
Distribuindo o sinal e simplificando:
y(t) = C_1\sin t - C_2\cos t + t - 1.
Então a solução geral do sistema é
x(t) = C_1\cos t + C_2\sin t + t + 1,
y(t) = C_1\sin t - C_2\cos t + t - 1.

Passo 8

Comentário final rápido para te animar: a técnica básica foi eliminar uma variável transformando o sistema em uma equação de segunda ordem, resolver a homogênea (raízes complexas → seno e cosseno) e achar uma particular por tentativa. Esse padrão aparece muito em prova — praticando mais alguns exemplos com termos forçantes polinomiais, exponenciais ou trigonométricos você pega o jeito rápido. Vamos com tudo, você consegue!

Resposta

x(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t + t + 1
y(t)=C_{1}\sin t - C_{2}\cos t + t - 1

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