Resolva os sistemas de equações diferenciais usando o Método dos Operadores:
Passo 1
A gente tem o sistema de EDOs em termos do operador diferencial
:
O conteúdo é resolver sistemas lineares por operadores, e vamos precisar isolar uma das variáveis e usar identificação de polinômio característico para encontrar
e depois
.
Passo 2
Da primeira equação expressamos
em função de
:
Isso simplifica o sistema e nos permite eliminar
na segunda equação.
Passo 3
Substituindo
em
temos:
que fica
Somando termos semelhantes:
Ou seja:
Passo 4
Agora encontramos a equação característica:
As raízes são
Logo a solução geral de
é
Passo 5
Finalmente, usamos
. Observando que para o modo
isso dá zero, e para o termo oscilatório de frequência
a gente calcula:
Sabe-se que
, daí
Fazendo as derivadas e agrupando cossenos e senos surge
Resposta
x(t) = A e^t + e^{-t/2}\bigl(B\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t) + C\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr)
y(t) = e^{-t/2}\Bigl[B\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac{3}{2}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr)
- C\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac{3}{2}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr)\Bigr]