Resolva os sistemas de equações diferenciais usando o Método dos Operadores:
(D^2-1) x-y=0
(D-1) x+D y=0

Passo 1

A gente tem o sistema de EDOs em termos do operador diferencial D=tfracddt:
(D^2-1)x - y = 0
(D-1)x + Dy = 0
O conteúdo é resolver sistemas lineares por operadores, e vamos precisar isolar uma das variáveis e usar identificação de polinômio característico para encontrar x(t) e depois y(t).

Passo 2

Da primeira equação expressamos y em função de x:
y = (D^2 - 1)x = x'' - x
Isso simplifica o sistema e nos permite eliminar y na segunda equação.

Passo 3

Substituindo y em (D-1)x + Dy=0 temos:
(D-1)x + Dl((D^2-1)xr) = 0
que fica
(D-1)x + (D^3 - D)x = 0
Somando termos semelhantes:
D^3 x - x = 0
Ou seja:
(D^3 - 1)x = 0

Passo 4

Agora encontramos a equação característica:
r^3 - 1 = 0
As raízes são
r = 1, r = -tfrac12 pm i,tfracraiz32
Logo a solução geral de x(t) é
x(t) = A e^t + e^-t/2l(Bcos(tfracraiz32t) + Csin(tfracraiz32t)r)

Passo 5

Finalmente, usamos y = x'' - x. Observando que para o modo e^t isso dá zero, e para o termo oscilatório de frequência tfracraiz32 a gente calcula:
u(t)=e^-t/2(Bcos(tfracraiz32t)+Csin(tfracraiz32t))
Sabe-se que nu''+nu'+nu=0, daí
y = x'' - x = nu'' - nu = -nu' -2nu
Fazendo as derivadas e agrupando cossenos e senos surge
y(t)=e^-t/2l[Bl(tfracraiz32sin(tfracraiz32t)-tfrac32cos(tfracraiz32t)r) + Cl(-tfracraiz32cos(tfracraiz32t)-tfrac32sin(tfracraiz32t)r)r]

Resposta

x(t) = A e^t + e^{-t/2}\bigl(B\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t) + C\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr)
y(t) = e^{-t/2}\Bigl[B\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac{3}{2}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr)
  • C\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\cos(\tfrac{\sqrt3}{2}t)-\tfrac{3}{2}\sin(\tfrac{\sqrt3}{2}t)\bigr)\Bigr]

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