Resolva os sistemas de equações diferenciais usando o Método dos Operadores:
d xd t=-y+t
d yd t=x-t

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que relaciona as derivadas de $ x $ e $ y $ em função do tempo $ t $. Vamos usar o Método dos Operadores, que é uma técnica útil para resolver sistemas desse tipo. Para isso, precisaremos de conhecimentos básicos de equações diferenciais e manipulação de operadores diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos introduzir o operador $ D $, que representa a derivada em relação a $ t $. Com isso, podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma:
D
t

Passo 3

Vamos isolar uma das variáveis para simplificar o sistema. A partir da primeira equação:
D x = - y + t Rightarrow y = - D x + t

Passo 4

Agora, substituímos $ y $ na segunda equação:
y
Substituindo $ y = - D x + t $:
D y = x - t
y = - D x + t
Sabemos que $ D t = 1 $ (pois a derivada de $ t $ em relação a $ t $ é 1):
D (- D x + t) = x - t

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para deixar tudo do mesmo lado:
- D^2 x - x = - t -1
(D^2 + 1) x = t + 1

Passo 6

Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ x $:
x
A solução dessa equação será a soma da solução geral da equação homogênea ($ x’’ + x = 0 x'' + x = t + 1 çã x_p $) da equação não homogênea.

Passo 7

Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea $ x’’ + x = 0 $. A solução é conhecida:
x'' + x = 0
onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ x_p $) para a equação não homogênea. Como o lado direito é $ t + 1 $, vamos supor uma solução particular da forma:
xp
onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem determinadas.

Passo 9

Derivando $ x_p $:
xp
xp' = C
Substituindo na equação diferencial:
xp'' = 0
Comparando os coeficientes dos termos iguais:
0 + C t + D = t + 1
C = 1
Portanto, a solução particular é:
D = 1

Passo 10

A solução geral para $ x(t) $ é a soma da solução homogênea com a particular:
x(t)

Passo 11

Agora, vamos encontrar $ y(t) $. Lembramos que:
y(t)
Derivando $ x(t) $:
y = - D x + t
Portanto:
x(t)
Simplificando:
d xd t = - A sin t + B cos t + 1

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = A cos t + B sin t + t + 1
y(t) = A sin t - B cos t + t - 1
onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema.

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