Resolva os sistemas de equações diferenciais usando o Método dos Operadores:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais que relaciona as derivadas de $ x $ e $ y $ em função do tempo $ t $. Vamos usar o Método dos Operadores, que é uma técnica útil para resolver sistemas desse tipo. Para isso, precisaremos de conhecimentos básicos de equações diferenciais e manipulação de operadores diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos introduzir o operador $ D $, que representa a derivada em relação a $ t $. Com isso, podemos reescrever o sistema de equações da seguinte forma:
Passo 3
Vamos isolar uma das variáveis para simplificar o sistema. A partir da primeira equação:
Passo 4
Agora, substituímos $ y $ na segunda equação:
Substituindo $ y = - D x + t $:
Sabemos que $ D t = 1 $ (pois a derivada de $ t $ em relação a $ t $ é 1):
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para deixar tudo do mesmo lado:
Passo 6
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para $ x $:
A solução dessa equação será a soma da solução geral da equação homogênea ($ x’’ + x = 0
x_p $) da equação não homogênea.
Passo 7
Vamos encontrar a solução geral da equação homogênea $ x’’ + x = 0 $. A solução é conhecida:
onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ x_p $) para a equação não homogênea. Como o lado direito é $ t + 1 $, vamos supor uma solução particular da forma:
onde $ C $ e $ D $ são constantes a serem determinadas.
Passo 9
Derivando $ x_p $:
Substituindo na equação diferencial:
Comparando os coeficientes dos termos iguais:
Portanto, a solução particular é:
Passo 10
A solução geral para $ x(t) $ é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 11
Agora, vamos encontrar $ y(t) $. Lembramos que:
Derivando $ x(t) $:
Portanto:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais do problema.