Se x=0 for um ponto singular regular de y^primeprime+P(x) y^prime+Q(x) y=0, então a equação tem ao menos uma solução da forma
y=x^lambda sumn=0^infty an x^n
em que lambda e an(n=0,1,2, ldots) são constantes. Essa solução é válida em um intervalo 0 para algum número real R.
Nesse contexto, estabeleça uma forma de recorrência para uma solução em série, na vizinhança de x =0, da equação diferencial 8 x^2 y^primeprime+10 x y^prime+(x-1) y=0, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:
l an+2=-(n-2)(n+2)(n+1) an-1 an=-1[4(lambda+n)-1][2(lambda+n)+1] an-1 an=-1(n+1)(n-2) an=1(n+2)^2 an an+2=1(n+1) an-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
8 x^2 y'' + 10 x y' + (x - 1) y = 0
O problema diz que x = 0 é um ponto singular regular, o que significa que podemos procurar uma solução em série da forma:
y = x^lambda sumn=0^infty an x^n
Aqui, lambda e os coeficientes an são constantes que a gente precisa encontrar. Nosso objetivo é estabelecer uma relação de recorrência que nos ajude a encontrar os an em função dos anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona essa solução em série. A ideia é substituir essa expressão na equação diferencial e igualar os coeficientes de cada potência de x a zero para encontrar relações entre os an.
Mas antes de substituir, precisamos calcular as derivadas de y.

Passo 3

Vamos calcular y' e y'':
y = x^lambda sumn=0^infty an x^n
Derivando em relação a x:
y' = lambda x^lambda -1 sumn=0^infty an x^n + x^lambda sumn=0^infty an n x^n-1
Simplificando:
y' = x^lambda -1 sumn=0^infty ( lambda an + n an ) x^n
E a segunda derivada:
y'' = (lambda)(lambda -1) x^lambda -2 sumn=0^infty an x^n + 2 lambda x^lambda -1 sumn=0^infty an n x^n-1 + x^lambda sumn=0^infty an n (n-1) x^n-2
Simplificando:
y'' = x^lambda -2 sumn=0^infty ( lambda (lambda -1) an + 2 lambda n an + n (n -1) an ) x^n

Passo 4

Agora, vamos substituir y, y' e y'' na equação diferencial original:
8 x^2 y'' + 10 x y' + (x - 1) y = 0
Substituindo:
8 x^2 cdot y'' + 10 x cdot y' + (x - 1) cdot y = 0
Usando as expressões que calculamos:
8 x^2 cdot x^lambda -2 sumn=0^infty ( lambda (lambda -1) an + 2 lambda n an + n (n -1) an ) x^n + 10 x cdot x^lambda -1 sumn=0^infty (lambda + n) an x^n + (x - 1) cdot x^lambda sumn=0^infty an x^n = 0
Simplificando os coeficientes de x:
8 x^lambda sumn=0^infty ( lambda (lambda -1) an + 2 lambda n an + n (n -1) an ) x^n + 10 x^lambda sumn=0^infty (lambda + n) an x^n + x^lambda +1 sumn=0^infty an x^n - x^lambda sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos reorganizar os termos para igualar coeficientes de cada potência de x a zero:
x^lambda [ 8 sumn=0^infty ( lambda (lambda -1) + 2 lambda n + n (n -1) ) an x^n + 10 sumn=0^infty (lambda + n) an x^n - sumn=0^infty an x^n ] + x^lambda +1 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos e obter uma expressão geral:
sumn=0^infty [ 8 ( lambda (lambda -1) + 2 lambda n + n (n -1) ) + 10 (lambda + n) - 1 ] an x^n + sumn=0^infty an x^n +1 = 0
Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de cada x^n devem ser iguais a zero. Vamos ajustar os índices para alinhar os termos:
sumn=0^infty [ 8 ( lambda (lambda -1) + 2 lambda n + n (n -1) ) + 10 (lambda + n) - 1 ] an x^n + sumn=1^infty an-1 x^n = 0
Agora, igualando os coeficientes a zero:
8 ( lambda (lambda -1) + 2 lambda n + n (n -1) ) + 10 (lambda + n) - 1 + an-1 = 0
Resolvendo para an:
an = - an-1 8 ( lambda (lambda -1) + 2 lambda n + n (n -1) ) + 10 (lambda + n) - 1

Resposta

A relação de recorrência correta para an é:
an = -1[4(lambda+n)-1][2(lambda+n)+1] an-1
Portanto, a alternativa correta é:
an=-1[4(lambda+n)-1][2(lambda+n)+1] an-1

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