Se
for um ponto singular regular de
, então a equação tem ao menos uma solução da forma
em que
e
são constantes. Essa solução é válida em um intervalo
para algum número real
.
Nesse contexto, estabeleça uma forma de recorrência para uma solução em série, na vizinhança de
, da equação diferencial
, assinalando a alternativa que contém a resposta correta:
Nesse contexto, estabeleça uma forma de recorrência para uma solução em série, na vizinhança de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do segundo grau:
O problema diz que
é um ponto singular regular, o que significa que podemos procurar uma solução em série da forma:
Aqui,
e os coeficientes
são constantes que a gente precisa encontrar. Nosso objetivo é estabelecer uma relação de recorrência que nos ajude a encontrar os
em função dos anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona essa solução em série. A ideia é substituir essa expressão na equação diferencial e igualar os coeficientes de cada potência de
a zero para encontrar relações entre os
.
Mas antes de substituir, precisamos calcular as derivadas de
.
Passo 3
Vamos calcular
e
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
E a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Usando as expressões que calculamos:
Simplificando os coeficientes de
:
Vamos reorganizar os termos para igualar coeficientes de cada potência de
a zero:
Passo 5
Agora, vamos combinar os termos e obter uma expressão geral:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero. Vamos ajustar os índices para alinhar os termos:
Agora, igualando os coeficientes a zero:
Resolvendo para
:
Resposta
A relação de recorrência correta para
é:
Portanto, a alternativa correta é: