Resolva os sistemas de equações lineares abaixo por eliminação Gauss-Jordan:
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+5 x_{2}=4 \\\\ 4 x_{1}-15 x_{2}=-1\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede resolver por eliminação Gauss-Jordan o sistema
\left\{\begin{array}{l} 2x_{1}+5x_{2}=4\\[4pt] 4x_{1}-15x_{2}=-1 \end{array}\right.
  • Objetivo final: encontrar os valores de \,x_{1} e x_{2}.
  • Informações relevantes dadas: são duas equações lineares com duas incógnitas; há solução única esperada (não há indicação de dependência ou inconsistência).]

Passo 2

O que é Gauss-Jordan (explicação didática e operações permitidas)
  • A ideia do método é transformar a matriz aumentada do sistema numa forma chamada RREF (forma reduzida por linhas), onde a parte esquerda fica igual à matriz identidade. Assim cada linha corresponde a uma variável isolada.
  • Representação matricial aumentada do sistema (peguei as equações do enunciado):
\left(\begin{array}{cc|c} 2 & 5 & 4\\[4pt] 4 & -15 & -1 \end{array}\right).
  • Operações elementares (permitidas e que preservam o conjunto de soluções):
    1. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo: L_i \leftarrow c\cdot L_i.
    2. Somar a uma linha um múltiplo de outra: L_i \leftarrow L_i + c\cdot L_j.
    3. Trocar duas linhas: L_i \leftrightarrow L_j.
  • Objetivo prático: obter um 1 (pivot) na posição (1,1), zerar abaixo e acima dele, obter pivot na posição (2,2), zerar acima/abaixo etc. Vou aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Criar pivot 1 na primeira linha (normalizar primeira linha)
  • Divido a primeira linha por 2 para ter 1 no pivô:
L_1 \leftarrow \tfrac{1}{2}L_1.
  • Cálculo da nova primeira linha (cada entrada dividida por 2):
L_1 = \left(2,\,5\,\mid\,4\right)\\ \xrightarrow{\;L_1\leftarrow\frac{1}{2}L_1\;}\\ \left(1,\,\tfrac{5}{2}\,\mid\,2\right).
  • Matriz resultante:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{5}{2} & 2\\[6pt] 4 & -15 & -1 \end{array}\right).]

Passo 4

Zerar a entrada abaixo do pivô (eliminar x_{1} da segunda linha)
  • Uso a operação L_2 \leftarrow L_2 - 4L_1 (para cancelar o 4 na coluna 1 da segunda linha):
L_2 = \left(4,\,-15\,\mid\,-1\right) - 4\cdot\left(1,\,\tfrac{5}{2}\,\mid\,2\right).
  • Calculemos cada componente:
    • Primeira coluna: 4 - 4\cdot 1 = 0.
    • Segunda coluna: -15 - 4\cdot\tfrac{5}{2} = -15 - 4\cdot2{,}5 = -15 - 10 = -25.
    • Termo independente: -1 - 4\cdot 2 = -1 - 8 = -9.
  • Nova segunda linha:
L_2 = \left(0,\,-25\,\mid\,-9\right).
  • Matriz agora:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{5}{2} & 2\\[6pt] 0 & -25 & -9 \end{array}\right).]

Passo 5

Normalizar a segunda linha (fazer o pivot da segunda linha igual a 1)
  • Divido a segunda linha por -25:
L_2 \leftarrow -\tfrac{1}{25}L_2.
  • Calc.: segunda coluna: -25\cdot(-\tfrac{1}{25})=1. Termo independente: -9\cdot(-\tfrac{1}{25})=\tfrac{9}{25}.
  • Segunda linha fica:
L_2 = \left(0,\,1\,\mid\,\tfrac{9}{25}\right).
  • Matriz:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & \tfrac{5}{2} & 2\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{9}{25} \end{array}\right).]

Passo 6

Zerar a entrada acima do segundo pivô (eliminar x_{2} da primeira linha)
  • Uso L_1 \leftarrow L_1 - \tfrac{5}{2}L_2 para cancelar a entrada \tfrac{5}{2} na primeira linha, segunda coluna.
  • Calculemos o termo independente novo de L_1:
    • Produto: \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{9}{25} = \dfrac{5\cdot 9}{2\cdot 25} = \dfrac{45}{50} = \dfrac{9}{10}.
    • Subtração: 2 - \dfrac{9}{10} = \dfrac{20}{10} - \dfrac{9}{10} = \dfrac{11}{10}.
  • A primeira coluna permanece 1 (pois não alteramos o coeficiente de x_1 além da eliminação do x_2).
  • Nova primeira linha:
L_1 = \left(1,\,0\,\mid\,\tfrac{11}{10}\right).
  • Matriz em forma reduzida:
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & \tfrac{11}{10}\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{9}{25} \end{array}\right).]

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida
  • A matriz está na forma reduzida por linhas, então as equações correspondentes são
x_{1} = \tfrac{11}{10},\qquad x_{2} = \tfrac{9}{25}.
  • Verificação (substituir nas equações originais):
    1. Primeira equação: 2\cdot\tfrac{11}{10} + 5\cdot\tfrac{9}{25} = \tfrac{22}{10} + \tfrac{45}{25} = \tfrac{11}{5} + \tfrac{9}{5} = \tfrac{20}{5} = 4. OK.
    2. Segunda equação: 4\cdot\tfrac{11}{10} - 15\cdot\tfrac{9}{25} = \tfrac{44}{10} - \tfrac{135}{25} = \tfrac{220}{50} - \tfrac{270}{50} = -\tfrac{50}{50} = -1. OK.
  • Portanto a solução está correta.

Resposta

x_{1}=\dfrac{11}{10}
x_{2}=\dfrac{9}{25}

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