Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de Gauss: \left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=1 \\\\ 2 x+y=3 \\\ y-5 z=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas e pede para resolvê-lo. As equações fornecidas são:
x-2y+z=1
2x+y=3
y-5z=4
Informações relevantes que temos:
As incógnitas são x,\;y,\;z.
Há 3 equações lineares independentes (ou seja, número de equações igual ao número de incógnitas).
Queremos encontrar os valores de x,\;y,\;z que satisfazem simultaneamente todas as equações.
Passo 2
Explicação do método que vamos usar (eliminação de Gauss), de forma bem direta e prática:
Representa-se o sistema por uma matriz aumentada que contém os coeficientes das incógnitas e o lado direito.
Aplicam-se operações elementares sobre as linhas da matriz (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).
Depois que a matriz estiver triangularizada, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution) as incógnitas, da última equação para a primeira.
Essas operações preservam o conjunto solução do sistema.
Passo 3
Montar a matriz aumentada do sistema (colunas correspondem a x,\;y,\;z e a última coluna é o termo independente):
Objetivo: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô inicial é o 1 na posição (1,1)).
Faça a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 (subtrai-se duas vezes a primeira linha da segunda) para zerar o elemento na posição (2,1).
Agora o pivô da segunda linha é 5 na posição (2,2). Queremos zerar o elemento abaixo dele (posição (3,2) que vale 1). Aplicamos a operação R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{1}{5}R_2.
Para simplificar os cálculos seguintes podemos multiplicar a terceira linha por 5 (operação permitida que apenas escala a equação), obtendo uma linha inteira com inteiros: