Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de Gauss:
\left\{\begin{array}{l}x-2 y+z=1 \\\\ 2 x+y=3 \\\ y-5 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de três equações com três incógnitas e pede para resolvê-lo. As equações fornecidas são:
x-2y+z=1
2x+y=3
y-5z=4
Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas são x,\;y,\;z.
  • Há 3 equações lineares independentes (ou seja, número de equações igual ao número de incógnitas).
  • Queremos encontrar os valores de x,\;y,\;z que satisfazem simultaneamente todas as equações.

Passo 2

Explicação do método que vamos usar (eliminação de Gauss), de forma bem direta e prática:
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada que contém os coeficientes das incógnitas e o lado direito.
  • Aplicam-se operações elementares sobre as linhas da matriz (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma matriz triangular superior (zeros abaixo da diagonal principal).
  • Depois que a matriz estiver triangularizada, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution) as incógnitas, da última equação para a primeira.
    Essas operações preservam o conjunto solução do sistema.

Passo 3

Montar a matriz aumentada do sistema (colunas correspondem a x,\;y,\;z e a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 3\\[4pt] 0 & 1 & -5 & 4 \end{array}\right]]

Passo 4

Objetivo: eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (o pivô inicial é o 1 na posição (1,1)).
Faça a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 (subtrai-se duas vezes a primeira linha da segunda) para zerar o elemento na posição (2,1).
Calcule linha a linha:
  • Para a coluna 1: 2 - 2\cdot 1 = 0.
  • Para a coluna 2: 1 - 2\cdot(-2) = 1 + 4 = 5.
  • Para a coluna 3: 0 - 2\cdot 1 = -2.
  • Para o termo independente: 3 - 2\cdot 1 = 1.
A matriz resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -5 & 4 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora o pivô da segunda linha é 5 na posição (2,2). Queremos zerar o elemento abaixo dele (posição (3,2) que vale 1). Aplicamos a operação R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{1}{5}R_2.
Calcule cada entrada de R_3:
  • Coluna 2: 1 - \dfrac{1}{5}\cdot 5 = 1 - 1 = 0 (como esperado).
  • Coluna 3: -5 - \dfrac{1}{5}\cdot(-2) = -5 + \dfrac{2}{5} = -\dfrac{25}{5} + \dfrac{2}{5} = -\dfrac{23}{5}.
  • Termo independente: 4 - \dfrac{1}{5}\cdot 1 = \dfrac{20}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{19}{5}.
Assim a matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -\dfrac{23}{5} & \dfrac{19}{5} \end{array}\right]
Para simplificar os cálculos seguintes podemos multiplicar a terceira linha por 5 (operação permitida que apenas escala a equação), obtendo uma linha inteira com inteiros:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -23 & 19 \end{array}\right]]

Passo 6

A última linha corresponde à equação -23z = 19. Agora resolvemos para z:
-23z = 19 \quad\Rightarrow\quad z = -\dfrac{19}{23}.

Passo 7

Substituímos o valor de z na segunda linha (que representa 5y - 2z = 1) para determinar y.
Escrevendo a equação:
5y - 2z = 1.
Substituindo z = -\dfrac{19}{23}:
5y - 2\left(-\dfrac{19}{23}\right) = 1
5y + \dfrac{38}{23} = 1.
Escrevendo 1 como \dfrac{23}{23}:
5y = \dfrac{23}{23} - \dfrac{38}{23} = -\dfrac{15}{23}.
Logo
y = -\dfrac{15}{23}\cdot\dfrac{1}{5} = -\dfrac{15}{115} = -\dfrac{3}{23}.

Passo 8

Agora encontramos x usando a primeira equação x - 2y + z = 1. Reorganizando:
x = 1 + 2y - z.
Substituindo y = -\dfrac{3}{23} e z = -\dfrac{19}{23}:
2y = 2\left(-\dfrac{3}{23}\right) = -\dfrac{6}{23}, \qquad - z = -\left(-\dfrac{19}{23}\right)=\dfrac{19}{23}.
Logo
x = 1 - \dfrac{6}{23} + \dfrac{19}{23} = 1 + \dfrac{13}{23} = \dfrac{23}{23} + \dfrac{13}{23} = \dfrac{36}{23}.

Passo 9

Pequena verificação rápida (só para ganhar confiança): testar na segunda equação 2x+y=3
2\cdot\dfrac{36}{23} + \left(-\dfrac{3}{23}\right) = \dfrac{72-3}{23} = \dfrac{69}{23} = 3,
e na terceira y-5z:
-\dfrac{3}{23} -5\left(-\dfrac{19}{23}\right) = -\dfrac{3}{23} + \dfrac{95}{23} = \dfrac{92}{23} = 4.
Vê-se que as soluções conferem com todas as equações.

Resposta

x=\dfrac{36}{23}
y=-\dfrac{3}{23}
z=-\dfrac{19}{23}

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