Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{array}{l}-x+3 y-2 z=4 \\\\ -x+4 y-3 z=5 \\\\ -x+5 y-4 z=6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da eliminação de Gauss, o sistema
\begin{cases} -x + 3y - 2z = 4,\\\\ -x + 4y - 3z = 5,\\\\ -x + 5y - 4z = 6, \end{cases}
ou seja, é um sistema de três planos em \mathbb{R}^3. Vamos usar operações entre equações para zerar, passo a passo, as incógnitas.

Passo 2

Denotando as equações por E_1, E_2 e E_3, fazemos
E_2 \gets E_2 - E_1,\quad E_3 \gets E_3 - E_1.
Isso elimina o coeficiente de x em E_2 e E_3. Calculando:
- E_2 - E_1
(-x+4y-3z)-(-x+3y-2z)=5-4 \quad\Longrightarrow\quad y - z = 1.
- E_3 - E_1
(-x+5y-4z)-(-x+3y-2z)=6-4 \quad\Longrightarrow\quad 2y - 2z = 2.

Passo 3

Agora o sistema está
\begin{cases} -x + 3y - 2z = 4,\\\ \;y - z = 1,\\\\ 2y - 2z = 2. \end{cases}
Dividindo a terceira equação por 2, obtemos
y - z = 1,
que é idêntica à segunda. Logo só temos duas equações independentes e três incógnitas: há infinitas soluções.

Passo 4

Escolhemos z como parâmetro, digamos z = t.
Da equação y - z = 1 vem
y = 1 + z = 1 + t.
E da primeira equação -x + 3y - 2z = 4, substituindo y=1+t e z=t:
-x + 3(1+t) - 2t = 4 \quad\Longrightarrow\quad -x + 3 + 3t - 2t = 4 \quad\Longrightarrow\quad -x + t = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = t - 1.

Passo 5

Concluímos que o conjunto solução é
\{(x,y,z) \mid x = t - 1,\;y = t + 1,\;z = t,\;t\in\mathbb{R}\}.
Geométricamente, as três equações representam planos em \mathbb{R}^3, mas apenas dois são independentes, de modo que sua interseção é uma reta parametrizada por t.

Resposta

x = t - 1,\quad y = t + 1,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Geometricamente, os três planos cortam-se ao longo de uma reta.

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