Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas. \left\{\begin{array}{l}-x+3 y-2 z=4 \\\\ -x+4 y-3 z=5 \\\\ -x+5 y-4 z=6\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método da eliminação de Gauss, o sistema
que é idêntica à segunda. Logo só temos duas equações independentes e três incógnitas: há infinitas soluções.
Passo 4
Escolhemos z como parâmetro, digamos z = t.
Da equação y - z = 1 vem
y = 1 + z = 1 + t.
E da primeira equação -x + 3y - 2z = 4, substituindo y=1+t e z=t:
-x + 3(1+t) - 2t = 4 \quad\Longrightarrow\quad -x + 3 + 3t - 2t = 4 \quad\Longrightarrow\quad -x + t = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = t - 1.
Passo 5
Concluímos que o conjunto solução é
\{(x,y,z) \mid x = t - 1,\;y = t + 1,\;z = t,\;t\in\mathbb{R}\}.
Geométricamente, as três equações representam planos em \mathbb{R}^3, mas apenas dois são independentes, de modo que sua interseção é uma reta parametrizada por t.
Resposta
x = t - 1,\quad y = t + 1,\quad z = t,\quad t\in\mathbb{R}.
Geometricamente, os três planos cortam-se ao longo de uma reta.