Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{aligned} 2 x-y+3 z & =11 \\\\ 4 x-3 y+2 z & =0 \\\ x+y+z & =6 \\\\ 3 x+y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de quatro planos em \mathbb{R}^3\), com incógnitas \(x,y,z\), e pede que a gente resolva por eliminação de Gauss e interprete geometricamente: \[\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\\\ 4x - 3y + 2z = 0,\\\ x + y + z = 6,\\\\ 3x + y + z = 4. \end{cases}
Vamos montar um sistema triangular em (x,y,z].

Passo 2

Eliminamos x de E_2, E_3 e E_4 usando E_1. As operações escolhidas (para evitar frações) são
E_2 \leftarrow E_2 - 2\,E_1,\quad E_3 \leftarrow 2\,E_3 - E_1,\quad E_4 \leftarrow 2\,E_4 - 3\,E_1.
Aplicando essas operações, obtemos o sistema
\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\\\ -\,y - 4z = -22,\\\\ 3y - z = 1,\\\\ 5y - 7z = -25. \end{cases}

Passo 3

Agora usamos a segunda equação -y - 4z = -22 para eliminar y de E_3 e E_4. As operações são
E_3 \leftarrow E_3 + 3\,E_2,\quad E_4 \leftarrow E_4 + 5\,E_2.
Após isso, o sistema fica
\begin{cases} 2x - y + 3z = 11,\\\\ -\,y - 4z = -22,\\\\ -\,13z = -65,\\\\ -\,27z = -135. \end{cases}

Passo 4

Observamos que a quarta equação -27z = -135 é \tfrac{27}{13} vezes a terceira, logo é redundante. Do terceiro temos
-13z = -65 \quad\Longrightarrow\quad z = 5.
Substituindo em -y - 4z = -22,
-\,y - 4\cdot5 = -22 \quad\Longrightarrow\quad -\,y = -2 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Finalmente, em 2x - y + 3z = 11,
2x - 2 + 3\cdot5 = 11 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 13 = 11 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.

Passo 5

Geometricamente, cada equação define um plano em \mathbb{R}^3. A resolução mostra que esses quatro planos se intersectam num único ponto.

Resposta

(x,y,z) = (-1,\,2,\,5).

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