Resolva os sistemas de equações lineares abaixo e interprete-os geometricamente.
Resolva os sistemas de equações lineares abaixo utilizando o método da eliminação gaussiana. Indique, a cada passo, as operações entre equações realizadas.
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3 \\\ x+7 y-7 z & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + y + z = 4,\\\\ 2x + 5y - 2z = 3,\\\ x + 7y - 7z = 5 \end{cases}
usando eliminação de Gauss e, em seguida, interpretar geometricamente (planos em \mathbb{R}^3).

Passo 2

Eliminamos x em cada uma das duas últimas equações usando a primeira:
– Subtraímos 2 vezes a equação 1 da equação 2:
(2x+5y-2z)-2(x+y+z)=3-2\cdot4 \;\Longrightarrow\; 3y-4z=-5.
– Subtraímos a equação 1 da equação 3:
(x+7y-7z)-(x+y+z)=5-4 \;\Longrightarrow\; 6y-8z=1.
O sistema fica
\begin{cases} x+y+z=4,\\\\ 3y-4z=-5,\\\\ 6y-8z=1. \end{cases}

Passo 3

Eliminamos y da terceira equação usando a segunda:
Subtraímos 2 vezes a equação 2 da equação 3:
(6y-8z)-2(3y-4z)=1-2(-5) \;\Longrightarrow\; 0=11.

Passo 4

Obtivemos a equação impossível 0=11. Isso significa que o sistema é inconsistente e não admite nenhuma solução.

Resposta

O sistema não tem solução.
Geométricamente, as equações definem três planos em \mathbb{R}^3 cujo conjunto de interseção é vazio: em particular, o segundo e o terceiro plano são paralelos distintos, de modo que não existe ponto comum aos três.

Exercícios relacionados