Resolva os sistemas de equações lineares abaixo, usando a Regra de Cramer:
\left\{\begin{aligned} x-2 y+z & =1 \\\\ 2 x+y & =3 \\\ y-5 z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Cramer, o sistema
\begin{cases} x - 2y + z = 1,\\\\ 2x + y = 3,\\\ \phantom{2}y - 5z = 4. \end{cases}
O conteúdo envolvido é determinantes de matrizes 3\times3 e a Regra de Cramer, que diz
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D},
onde D é o determinante da matriz dos coeficientes e D_x,D_y,D_z são os determinantes obtidos ao substituir, respectivamente, a coluna de x,y,z pelo vetor de termos independentes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -5 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & -5 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
D = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
= 1\cdot(1\cdot(-5)-0\cdot1) -(-2)\cdot(2\cdot(-5)-0\cdot0) +1\cdot(2\cdot1-1\cdot0) = -5 - 20 + 2 = -23.

Passo 3

Para D_x, substituímos a primeira coluna por \,(1,3,4)^T:
D_x = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 3 & 1 & 0\\\\ 4 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 1 & -5\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 4 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 1\\\ 4 & 1\end{pmatrix}
= 1\cdot(-5) -(-2)\cdot(-15) + (3\cdot1-1\cdot4) = -5 - 30 +(-1) = -36.

Passo 4

Para D_y, substituímos a segunda coluna por \,(1,3,4)^T:
D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}3 & 0\\\ 4 & -5\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & -5\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 0 & 4\end{pmatrix}
= 1\cdot(-15) -1\cdot(-10) +1\cdot(8) = -15 +10 +8 = 3.

Passo 5

Para D_z, substituímos a terceira coluna por \,(1,3,4)^T:
D_z = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 3\\\ 1 & 4\end{pmatrix} -(-2)\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 0 & 4\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 0 & 1\end{pmatrix}
= 1\cdot(1\cdot4-3\cdot1) -(-2)\cdot(8-0) +1\cdot(2\cdot1-1\cdot0) = 1 -(-16) +2 = 19.

Passo 6

Aplicando a Regra de Cramer:
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-36}{-23} = \frac{36}{23}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{3}{-23} = -\frac{3}{23}, \quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{19}{-23} = -\frac{19}{23}.

Resposta

x = \tfrac{36}{23},\;y = -\tfrac{3}{23},\;z = -\tfrac{19}{23}.

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