Seja a \in \mathbb{R} de modo que a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 2 \\\\ 1 & 2 & a \\\\ 0 & 1 & 4\end{array}\right] não seja invertível. Então o valor de a é:
(a) -18 .
(b) 18 .
(c) 6 .
(d) -6 .
(e) 3 .

Passo 1

O enunciado dá uma matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2\\\\ 1 & 2 & a\\\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}
e pede o valor de a para o qual A não é invertível. Isso acontece exatamente quando \det(A)=0. Vamos, portanto, calcular \det(A) e achar a que zera esse determinante.

Passo 2

Usamos a expansão do determinante pela primeira linha:
\det(A) =3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & a\\\ 1 & 4\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ 0 & 4\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}2 & a\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =2\cdot4 - a\cdot1 = 8 - a,
\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ 0 & 4\end{pmatrix} =1\cdot4 - a\cdot0 = 4,
\det\begin{pmatrix}1 & 2\\\ 0 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\cdot0 = 1.

Passo 4

Substituindo esses valores:
\det(A) =3\,(8 - a)\;-\;2\cdot4\;+\;2\cdot1 =24 - 3a - 8 + 2 =18 - 3a.

Passo 5

Para A não ser invertível, requeremos \det(A)=0:
18 - 3a = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3a = 18 \quad\Longrightarrow\quad a = 6.

Resposta

6 (alternativa (c))

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